UZAY GEOMETRI

• BAZI KAVRAM ve TANIMLAR

Geometride nokta, dogru, düzlem ve uzay gibi bazi kavramlar tanimsiz olarak kabul edilir. Kalemin veya sivri bir seyin ucunun biraktigi ize nokta diyebiliriz. Cetvelin kenari ile bir dogru çizebiliriz. Sinifin duvari, pencere cami birer düzlemdir. Odanin içerisi, herhangi bir cismin kapladigi yer birer uzay belirtirler.

Nokta : « . » Biçiminde ifade edilir ve genellikle büyük harfle gösterilir. Nokta boyutsuzdur.

« . » nokta, « . A? A noktasi

Dogru : iki ucuna ok isareti koyulmus düz bir çizgi ile gösterilir. Dogru küçük harfle veya üzerindeki iki nokta ile gösterilir.

d »d dogrusu

veya AB dogrusu diye okunur. Buradaki A ve B noktalari dogrunun birer elemanidir.

A Îd ve B Î d biçiminde yazilir.

Farkli iki noktadan bir tek dogru geçer.  Farkli iki nokta bir tek dogru belirtir.

Dogru bir boyutludur. Yani sadece uzunluk söz konusudur.

Düzlem: Uzunluguna ve genisligine dogru sonsuza uzayip giden düz bir yüzeydir. Düzlem iki boyutludur. Sayfa üzerinde paralelkenar gibi gösterilebilir. Paralelkenarin kösesine harfle ismi yazilabilir.

sekildeki düzlem E düzlemi diye isimlendirilir.

Burada A, B ve C noktalari E düzlemi üzerindedir. Dolayisiyla B ve C noktalarindan geçen d dogrusu da E düzlemi üzerindedir.

A Î E

B Î E

C Î E

d Î E

Ayni dogru üzerinde olmayan farkli üç nokta bir düzlem belirtir. Bir dogru ile, bu dogru üzerinde olmayan bir nokta, bir düzlem belirtir. Bir dogrunun farkli iki noktasi bir düzlem üzerinde ise bu dogru (dogrunun bütün noktalari) bu düzlem üzerindedir.

1. Düzlemle Dogrunun Durumlari

Bir dogru düzlemin ya üzerinde, ya disindadir veya düzlemi bir noktada keser.

d1 Ç a = d1

d2 Ç a = Ø

d Ç b = {K}

K noktasi kesisen bir dogru ile bir düzlemin arakesitidir.

2. Düzlemde Iki Dogrunun Birbirine Göre Durumlari

 

Paralel farkli iki dogru bir tek düzlem belirtir. Her paralel farkli iki dogrudan bir tek düzlem geçer. Kesisen farkli iki dogru bir tek düzlem belirtir. Her kesisen farkli iki dogrudan bir tek düzlem geçer. Bir düzlemde farkli iki dogru ya paraleldir, ya da bir noktada kesisirler.

d1  Ç d2 = Ø

l1  Ç  l2 = {A}

Üst üste çizilen çakisik dogrular bir tek dogru kabul edilir.

3. Düzlemde Üç Dogrunun Birbirlerine Göre Durumlari

Üç dogru paralel olabilir.

d1 // d2 // d3                 d1 Ç d2Çd3 = Ø

Düzlemde paralel olan iki dogrudan birine paralel olan dogru digerine de paraleldir.

d1 // d2 ve d2 // d3 ise d1 // d3 olur.

Yalniz ikisi paralel ise, üçüncü dogru paralel dogrulari birer noktada keser.

l1 // l2

l1Ç l3 = {A}

l2 Ç l3 = {B}

•  Düzlemde paralel iki dogrudan birini kesen bir dogru, digerini de keser.

•  Düzlemde paralel iki dogrudan birini dik kesen bir dogru digerini de dik keser.

Üç dogru bir noktada kesisebilir.

k1 Ç k2 Çk3 = {P}

Üç dogru ikiser ikiser kesisebilir.

t1 Ç t2 = {A}

t1 Ç t3 = {B}

t2 Ç t3 = {C}

t1 Ç t2 Çt3 = Ø

4.Düzlemde Nokta Ile Dogrunun  Durumlari

 

Dogrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu dogruya dik olan bir tek dogru çizilebilir.

d2 dogrusu A'dan geçer ve d1 e diktir

Dogrunun disindaki bir noktadan geçen ve bu dogruya dik olan bir tek dogru çizilebilir.

d3 dogrusu B'den geçer ve d1 e diktir.

Dogrunun disindaki bir noktadan geçen ve bu dogruya paralel olan bir tek dogru çizilebilir.

l2 dogrusu A'dan geçer ve l1 ile paraleldir.

 

5. Dogrularin Düzlemde Ayirdigi Bölge Sayisi

Genel olarak, n adet dogru bir düzlemi en az (n + 1) bölgeye (paralellik hali), en

fazla

bölgeye ayirir.

        

•  Iki dogru, bir düzlemi en az 3 bölgeye, en fazla 4 bölgeye ayirir.

•  Üç dogru, bir düzlemi en az 4 bölgeye, en fazla 7 bölgeye ayirir.

•  Dört dogru, bir düzlemi en az 5 bölgeye, en fazla 11 bölgeye ayirir.

 

• UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOGRULAR

Cisimlerin kapladigi yer ve içinde bulunduklari mekan uzaydir. Dogruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genislik söz konusu idi. Uzayda ise uzunluk ve genisligin yaninda bir de yükseklik kavrami vardir. (Derinlikte denilebilir.) Dolayisiyla uzay üç boyutludur. Uzayda x, y, z eksenleri oldugu için kartezyen koordinat olarak R x R x R veya R3 ile sembolize edilir.

Asagida üç boyutlu cisimlerin bazilari belirtilmistir.

1. Uzay Belirtme Aksiyomlari

 

Dördü ayni düzlemde bulunmayan farkli dört nokta uzay belirtir.

E düzlemindeki A, B, C noktalari ile düzlem disindaki P noktasi, uzay belirtir.

Bir düzlem ile bu düzlemin disindaki bir nokta, uzay belirtir.

E düzlemi ile bu düzlemin disindaki P noktasi uzay belirtir.

Bir düzlem ve düzlem üzerinde olmayan bir dogru uzay belirtir.

d dogrusu F düzleminde olmadigindan, F düzlemi ile d dogrusu uzay belirtir.

 

Uzayda farkli iki düzlem ya paraleldir ya da kesisirler. Paralel olmayan farkli iki düzlem daima kesisir. Farkli iki düzlem daima uzay belirtir. Kesisen iki düzlemin ortak noktalarinin olusturdugu dogruya arakesit dogrusu denir.

Farkli K ve L düzlemleri uzay belirtir. E ve F düzlemlerinin kesisim kümesi d dogrusudur. E Ç F = d dir.