TÜREV VE UYGULAMALARI

1-TÜREVIN TANIMI VE GÖSTERILISI
a,b Î R olmak üzere, f:[a,b] ® R fonksiyonu verilmis olsun.
x0Î(a,b) için limx® X0      f(x)-f( x0 )  limiti bir gerçel sayi ise bu limit degerine f fonksiyonunun x0 
                                      x- x0
noktasindaki türevi denir.
f fonksiyonunun x0  noktasindaki türevi f ?(x0 ) ile gösterilir.
Eger f(x)-f( x0 ) , ifadesinin x0 noktasinda limiti yoksa ya da limiti gerçel sayi degilse f fonksiyonunun x0
x- x0
noktasinda türevi yoktur.

ÖRNEK:
R de f(x)=x2 ile tanimli f fonksiyonunun X0 noktasindaki türevi bulunuz?
ÇÖZÜM:

 f ?(X0 )= limx® X0   f(x)-f( x0 )            limx® x0     x2 ? x02                  limx® x0  (x ? x0) (x + x0)     
                               x- x0                                      x ? x0                                                          x ? x0

                                                                      limx® x0 (x + x0 )                               x0+ x0        2x0                                       

BIR ARALIKTA TÜREVLI FONKSIYON f  :(a,b) ®R fonksiyonunun (a,b) araliginin her noktasinda türevi varsa, f fonksiyonu (a,b) araliginda türevlidir denir.

Örnegin , 1.örnekte verilen f(x)=x2 ile tanimli f : R®R fonksiyonu R kümesinde türevlidir.
Her x0 Î R için f ?( x0 ) =2x0 oldugundan, her x Î R için f ?( x ) =2x?tir.
f ?( x ) =2x ile tanimli f ? : R® R fonksiyonuna, f(x)=2x ile tanimli f : R ® R fonksiyonunun türev fonksiyonu denir.

2-SOLDAN VE SAGDAN TÜREV
AÌ R , x0 Î  A olmak üzere f : A®R fonksiyonunda , limx® x0- f(x)-f( x0 )  Î R ise bu limite, f fonksiyonununa x0
x- x0
noktasindaki soldan türevi denir ve f ?( x0- ) ile gösterilir.
limx® x0+ f(x)-f( x0 )  Î R ise bu limite, f fonksiyonununa x0 noktasindaki sagdan türevi denir. ve f ?( x0+ ) ile
x- x0
gösterilir.

ÖRNEK:

R de f(x) = ôx-3ô ile tanimli f fonksiyonunun x0 = 3 noktasindaki soldan ve sagdan türevini bulunuz.

ÇÖZÜM:

x < 3 ise x-3 <0 ® ôx-3ô = -(x-3),   x >3 ise x-3 >0 ® ôx-3ô= x-3 tür.
f?(3-) = limx® 3- f(x)-f(3)         limx® 3- ôx-3ô-0            limx® 3-  -(x-3)          limx® 3 (-1) = -1
x-3                                x-3                              x-3 

f?(3+) = limx® 3+ f(x)-f(3)        limx® 3+ ôx-3ô-0           limx® 3+   x-3                        limx® 3  (1)  =  1
                            x-3                               x-3                              x-3 

f?(3-) ¹ f?(3+) oldugundan, f fonksiyonunun x = 3 noktasinda türevi yoktur.

 

3-TÜREV HESAPLAMA KURALLARI

• c sabit sayi, (c)? = 0
• x degisken, (x)? = 1
• (f+g)? = f ?+g? , (f-g)? = f ?- g?
• a) (f .g)? = f ?.g + f .g?

b) (f .g .h)? = f ?g.h + g?.f .h + h?.f .g
c) c sabit bir gerçel sayi olmak üzere,
(c.f)? = c.f ? (cx)?= c

• nÎR , (f n )? = n.f n-1 .f ?, (xn)?= n.xn-1
•  f ?           f ?. g ? g?.f

 g?                  g2
 

ÖRNEK:                                                                               ÖRNEK:
f(x)=2x4-x3-3x2+5x+7 olduguna göre f ?(x) türevini              f(x)= (x3-x).(5-2x2) dir. f?(x) türevini hesaplayiniz.                                                                          hesaplayiniz

ÇÖZÜM:                                                                              ÇÖZÜM:

f ?(x) = (2x4-x3-3x2+5x+7)?                                                    f(x)?= ((x3-x).(5-2x2))?
= 8x3-3x2-6x+5                                                                    = (x3-x)?.(5-2x2) + (x3-x).(5-2x2)?
 = (3x2-1).(5-2x2) + (x3-x).(-4x)
= -10x4 + 21x2-5

4-TEGETIN EGIMI VE DENKLEMI
x0 noktasindaki türevi f fonksiyonunun A=(x0,f(x0)) noktasindaki tegetinin egimi

                                   y                      teget
                                                A

  

                

                                                                             x
a              x0                           

  

A=(x0,f(x0)) noktasindaki tegetin denklemi               

 

 Tegete A=(x0,f(x0)) degme noktasinda dik olan dogruya f fonksiyonunun A noktasindaki normali denir. Buna göre A=(x0,f(x0)) noktasindaki normalin egimi     -1           ve normalin denklemi                                                                         
                                                                                               f ?(x0)                                                                                                                                                                                                                                                      olur
ÖRNEK:
f(x) = -x2+x+6 ile tanimli f fonksiyonunun apsisi x0=2 olan tegetinin ve normalinin denklemini yaziniz.
ÇÖZÜM:
f fonksiyonunun grafigine  ait ve apsisi x0=2 olan noktanin ordinati,
y0 = f(x0) = f(2) = -(2)2+2+6 = 4?tür.
Öyleyse tegetin degme noktasi (2,4)= noktasidir.
f ?(x) =-2x + 1 oldugundan tegetin egimi; m = f ?(x0) = f ?(2) = -2.2+1 = -3?tür.
Bir noktasi ve egimi bilinen tegetin denklemi,
y- f(x0) = f ?(x0).(x-x0)  ?  y ? 4 = -3(x ? 2) ? y = -3x + 10 olur.
 Normalin egimi    -1   =   1    =  1   oldugundan, normalin denklemi; y ? 4 = 1   (x ? 2) ?  1  x +  10   olur.
                         f ?(x0)      -3        3                                                                3                    3           3

5- BIR FONKSIYONUN TERS FONKSIYONUNUN TÜREVI

f : A ® B, x®y = f(x) bire-bir örten fonksiyon ise
f ?1 : B®A, y®x = f ?1 (y) ters fonksiyonunun türevi

               (f ?1 )? (y) =     1      =          1                      dir        .
                                f ?(x0)      f ?(f ?1 (y))

6- BILESKE FONKSIYONIN TÜREVI (ZINCIR KURALI)

f ve g türevi olan iki fonksiyon olduguna göre,    (gof)?(x) = g ?(f(x)) . f ?(x) ?dir

ÖRNEK:
R den R? ye f ve g fonksiyonlari f(x) = x3 ? x , g(x) = x2  ile tanimlidir. (gof)?(x) ifadesini bulunuz.,

ÇÖZÜM:

(gof)?(x) = g?(f(x)). f ?(x) dir.
g?(x) = (x2)? = 2x , f ?(x)= (x3-x)? = 3x2-1 oldugundan,
(gof)?(x) = g?(f(x)) . f ?(x)  =  2(x3 - x) . (3x2 ? 1) olur.

7- PARAMETRELI IFADELERIN TÜREVI
x = f(t) ve y = g(t) ile verilen f ve g fonksiyonlarinin ortak degiskeni (parametre) t olduguna göre,

dy
                  dy    =        dt             dir.        Bu türev ifadesi    y?x =    y?t                biçiminde  de yazilir.
                  dx              dx                                                               x?t
dt

8- KAPALI OLARAK TANIMLI FONKSIYONLARIN TÜREVI

f(x,y) = 0 kapali ifadesinden y = g(x) denklemi ile bir fonksiyon tanimlanabiliyorsa, bu sekilde tanimlanan fonksiyona, kapali olarak tanimli fonksiyon denir.
f(x,y) = 0 esitliginden   dy   türevi hesaplanirken x degisken, y de x?in görüntüsü olarak düsünülür. Her terimin x
                                    dx
degiskenine göre türevi hesaplanarak   yx?= dy          bulunur.
                                                                 dx

ÖRNEK:
x3y2 ? xy3 ? 5x + y + 2 = 0 kapali ifadesi veriliyor. y?=    dy    türevini hesaplayiniz.
                                                                                    dx
ÇÖZÜM:

x3y2 ? xy3 ? 5x + y + 2 = 0 kapali ifadesinin her teriminin x?e göre türevi hesaplanarak,
(3x2y2 + x3 .2y.y?) ? (y3 + x.3y2y?) ? 5 + y? +0 = 0

y? =   -3x2y2 + y3 + 5     bulunur.
          2x3 y ? 3xy2 +1

 

 

 

 9- TRIGONOMETRIK FONKSIYONLARIN TÜREVI

• (sin x)? = cos x , (sinf(x))? = cos f(x) . f ?(x)

 

• (cos x)? = -sin x , (cosf(x))? = -sin f(x) . f ?(x)

• (tan x)? = 1 + tan2 x  =    1    = sec2 x

                                       cos2 x

• (cot x)? = -(1+cot2x) =  -      1       =  - cosec2x

          sin2x

ÖRNEK:
f(x) = sin2 3x olduguna göre, f ?(x) türevini hesaplayiniz.

ÇÖZÜM:

f ?(x) = (sin2 3x)? = 2 sin 3x . (sin 3x)?
= 2 sin 3x cos3x
= 3. sin 6x

ÖRNEK:
f ?(x) = cos (x2+1) olduguna göre f ?(x) türevini hesaplayiniz.

ÇÖZÜM:

f ?(x) = (cos (x2+1))? = - sin(x2+1) . (x2+1)?
= -2x . sin(x2+1)

10- LOGARITMA FONKSIYONUNUN TÜREVI

• (ln x)? =   1                ,   (ln f(x))? =    f ?(x)

          x                                        f(x)

• (log ax)?  =     1     .1    ,   (log a f(x))? =   1                 f ?(x)

  ln a    x                             ln a       f(x)

 

ÖRNEK:
y = ln (x2+5) olduguna göre,  dy   türevini hesaplayiniz.  
dx
ÇÖZÜM:

 dy          (ln (x2+5))?  = (x2+5)   =    2x
dx                                x2+5         x2+5

ÖRNEK:
f(x) = log10(x2+1) olduguna göre f ?(x) türevini hesaplayiniz.

ÇÖZÜM:

f ?(x) = (log10(x2+1))?  =     1     (x2+1)?    =     1          2x        =   log10 e   2x
                                     ln 10      x2+1           ln 10     x2+1                    x2+1

11-ÜSTEL FONKSIYONUN TÜREVI

• (ex)? = ex  ,    (e f(x) )? = e f(x) .(f(x))?

 

• (ax)? = ax . ln a  ,    (a f(x) )? = a f(x) . f ?(x) . ln a

ÖRNEK:
f(x) = e tan x olduguna göre f ?(p) degerini hesaplayiniz.

ÇÖZÜM:
f ?(x) = (e tan x )? = (tan x)? . e tan x  = (1+tan2x) . e tan x oldugundan

f ?(p) = (1+tan2p) . e tan p  = (1+02) . e0  = 1.1 = 1?dir

ÖRNEK:

• (3 x)?      

b)   (32x+1 )?    türevlerini hesaplayiniz.

ÇÖZÜM:

• (3x)? = 3x . ln3
• (32x+1 )? = (2x+1)? . 32x+1 . ln 3 = 2 . 32x+1 .ln3

11- YÜKSEK SIRADAN TÜREVLER (ARDISIK TÜREVLER)

f : A ® R , x®y = f(x) fonksiyonunun
1. türevi,  y? = f ?(x)
2. türevi,  y? = (f ?(x))? = f ?(x)
3. türevi,  y?? = (f ?(x))? = f ??(x)
4. türevi,  y(4)  = (f ??(x))? = f (4) (x)
...........................................................
n. türevi,  y(n)  = (f ( n-1) (x))? = f ( n) (x)

ÖRNEK:
f(x) = 2x3 ? x2 + 5x ? 8 olduguna göre f ?(x) türevini hesaplayiniz

ÇÖZÜM:

f ?(x) = (2x3 ? x2 + 5x ? 8)? = 6x2 ? 2x + 5
f ?(x) = (6x2 ? 2x + 5)? = 12x ?2

12- TÜREVIN LIMIT HESABINA UYGULANMASI (L? HOSPITAL KURALI)

limx® X0   f(x)   limitinde   0    ya da     ¥    belirsizligi varsa, genellikle   limx® X0    f ?(x)   dir.  (L?Hospital Kurali)
              g(x)                   0                 ¥                                                            g ?(x)

ÖRNEK:
limx®2   x2 + x ? 6   limitini hesaplayiniz
x5 ? 32

ÇÖZÜM:

0    belirsizligi var.   ?    limx®2  (x2 + x ? 6)?   =   limx®2     2x + 1    =   2 . 2 + 1    =    1
 0                                                  (x5 ? 32)?                           5x4          5 . 24           16
13- BIR ARALIKTA ARTAN YADA AZALAN FONKSIYONLAR
TANIM:
A Ì  B olmak üzere f : A®R fonksiyonunda

• " x1, x2 Î [a,b] için   x1 < x2 ? f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonu [a,b] araliginda artan fonksiyondur.

• " x1, x2 Î [b,c] için   x1 < x2 ? f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonu [b,c] araliginda azalan fonksiyondur.

 

• " x Î [c,d] için f(x) = k (sabit) ise f fonksiyonu [c,d] araliginda sabit fonksiyondur.

TEOREM:
f fonksiyonu (a,b) , (b,c) , (c,d) arliklarinda türevli olduguna göre,

• " x Î (a,b) için f ?(x) > 0 Û f , (a,b) araliginda artan

• " x Î (b,c) için f ?(x) < 0 Û f , (b,c) araliginda azalan

 

• " x Î (c,d) için f ?(x) = 0 Û f , (c,d) araliginda sabit

ÖRNEK:
f(x) = -x3 + 12x ile tanimli f : R ® R fonksiyonunun artan yada azalan oldugu araliklari belirtiniz.

ÇÖZÜM:

f ?(x) = -3x2 + 12 oldugundan    f ?(x) = 0 ? -3x2 + 12 = 0
x = -2  V  x = 2

       
x        - ¥                  -2                        2                                +¥
    
           f ?                -                         +                          -

           f         
azalan                  artan             azalan

f ? türev fonksiyonunun isaret durumu yukaridaki tabloda gösterilmistir.
(-¥ , -2) araliginda f ? < 0 oldugundan, f fonksiyonu azalandir.
(-2 , 2) araliginda f ? > 0 oldugundan f fonksiyonu artandir.
(2 , +¥) araliginda f ? < 0 oldugundan f fonksiyonu azalandir.

14 ? TÜREV VE YEREL EKSTREMUM NOKTALARI
TANIM:

f : [a,b] ® R fonksiyonunda,

• x1 Î (a,b) ; f(x1) < f(x) olacak biçimde en az bir e pozitif gerçel sayisi varsa, (x1, f(x1)) noktasi f fonksiyonunun bir yerel minimum noktasidir. f(x1) degeri, f fonksiyonunun bir yerel minimum degeridir.
• x2 Î (a,b) ; f(x2) > f(x) olacak biçimde en az bir e pozitif gerçel sayisi varsa, (x2, f(x2)) noktasi f fonksiyonunun bir yerel maksimum noktasidir. f(x2) degeri, f fonksiyonunun bir yerel maksimum degeridir.

Bir fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarina, yerel ekstremum noktalari denir.

TEOREM:
f fonksiyonu (a,b) araliginda türevli ve x0 Î (a,b) olmak üzere x0 noktasinda bir yerel ekstremum degeri varsa       f ?(x0) = 0?dir.

BIRINCI TÜREVLE YEREL EKSTREMUMUN BELIRTILMESI

• aÎA ve f ?(a) = 0 olmak üzere:

" x Î (a-e,a) için f ?(x) > 0 ise f fonksiyonu (a-e,a) araliginda artandir.
" x Î (a,a+e) için f ?(x) < 0 ise f fonksiyonu (a,a+e) araliginda azalandir.
a noktasinda fonksiyonun yerel maksimumu vardir.

• bÎA ve f ?(b) = 0 olmak üzere:

" x Î (b-e,b) için f ?(x) < 0 ise f fonksiyonu (b-e,b) araliginda azalandir.
" x Î (b,b+e) için f ?(x) > 0 ise f fonksiyonu (b,b+e) araliginda artandir.
b noktasinda fonksiyonun yerel minimumu vardir.

ÖRNEK:
f(x) = x3 + 3x2 ? 1 ile tanimli f: R®R fonksiyonunun yerel ekstremum degerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM:
f ?(x) = (x3 + 3x2 ?1)? = 3x2 + 6x
f ?(x) = 0 ? 3x2 + 6x = 0
? x = -2 V x = 0                
buna göre f ?(-2) = 0 ve f ?(0) = 0 dir.
f ?(x) = 3x2 + 6x birinci türev ifadesinin isareti asagidaki tabloda gösterilmistir.

                                  x   -¥                -2                      0                   +¥
 

              f ?(x)=3x2 + 6                        +                         -                      +
 

                                  f
                                                  artan       azalan                   artan
                                                      f ?(-2)=3              f(0)= -1

f fonksiyonu (-¥ , -2) araliginda artan, (-2 , 0) araliginda azalan, (0,+¥) araliginda artandir.
x = -2 için fonksiyon yerel maksimum degerini alir.
Yerel maksimum degeri f(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 ? 1 = 3?tür. x = 0 için fonksiyon yerel minimum degerini alir. Yerel minimum degeri f(0) = 03+3.02 ? 1 = -1?dir.

 

IKINCI TÜREVLE YEREL EKSTREMUMUN BELIRTILMESI
f: A®R fonksiyonu A kümesinde 1. ve 2. siradan türevi olan bir fonksiyon olsun. a, bÎA olmak üzere:

• f ?(a) = 0 ve f ?(a) < 0 ise a noktasinda f fonksiyonunun yerel maksimumu vardir.

 

• f ?(b) = 0 ve f ?(b) > 0 ise b noktasinda f fonksiyonunun yerel minimumu vardir.

Örnegin, yukaridaki örnekteki f(x) = x3 + 3x2 ? 1 ile tanimli f fonksiyonunda:
f ?(x) = 3x2 + 6x
f ?(x) = 6x + 6
f ?(x) = 3x2 + 6x = 0 ? x = -2 V x = 0?dir.
f ?(-2) = 0 ve f ?(-2) = 6.(-2) + 6 < 0 oldugundan, x = -2 noktasinda fonksiyonun yerel maksimumu;
f ?(0) = 0 ve f ?(0) = 6.0 + 6 = 6 < 0 oldugundan x = 0 noktasinda fonksiyonun yerel minimumu olduguna dikkat ediniz.

 

 

ÖRNEK:
x2 ? mx ? 3     ile tanimli f fonksiyonunun x = 1 için yerel minimumu olduguna göre, m?nin degeri nedir?
f(x) =                        
x + 2
ÇÖZÜM:
x = -1 için f fonksiyonunun yerel minimumu olduguna göre f ?(-1) = 0 olmalidir.

              (2x-m)(x+2)-1 . (x2-mx-3)
f ?(x) =                                                           oldugundan
(x+2)2
(2.1-m)(1+2) - (1-m.1-3)
f ?(1) =                                                          = 0
(1+2)2
? (2-m) . 3 ? (-m ? 2) = 0
? m = 4 olur.

15 ? FONKSIYONLARIN DEGISIMLERININ INCELENMESI VE GRAFIKLERIN ÇIZIMI
GRAFIK ÇIZIMINDE YAPILACAK ISLEMLER:

• Eger fonksiyonun tanim kümesi belirtilmemisse, fonksiyonun tanimli oldugu en genis küme belirtilir.
• Fonksiyonun türevi hesaplanir. Türevin isaretine göre, fonksiyonun artan ya da azalan oldugu araliklar ve ekstremum noktalari belirtilir.
• x® -¥ ve x® +¥ için fonksiyonun limiti bulunur.
• Grafigin X ve Y eksenlerini kestigi noktalar bulunur.
• Asimptotlar (varsa) bulunur.
• Degisim tablosu düzenlenir.
• Degisim tablosunda özetlenen bilgiler, koordinat sisteminde degerlendirilerek fonksiyonun grafigi çizilir.

ÖRNEK:
3x ? 1          ile tanimli f: A®R fonksiyonunun degisimini inceleyiniz ve grafigini çiziniz.
y = f(x) =
x + 2
ÇÖZÜM:
Tanim kümesi ve düsey asimptot:
x + 2 = 0 ? x = -2 oldugundan, fonksiyon x = -2 için tanimsizdir. Tanim kümesi A=R ? {-2} dir.
x = -2 dogrusu düsey asimptottur.
3.(x+2) ? 1.(3x-1)          7
Türev: f ?(x) =                                          =                  > 0 ? dir.
(x + 2)2                 (x + 2)2
Limit ve yatay asimptot:                                 Degisim tablosu:                              1
lim f(x) ?den y = 3 dogrusu yatay asimptottur.x     -¥              -2              0          3          +¥
Eksenleri kestigi noktalar:                               f ?(x)          +                +              +            +
x = 0 için  y = - 1      ;  y = 0 için  x =  1                                                                   -1         0
2                              3                           f(x)                                     2

Grafik:             f                        y
y=3
3

    0                      f      x
                                     -21
x = -2                                   3