POLINOMLAR
Polinomlarla Ilgili Temel Kavramlar:
a0, a1, a2, ....an-1, an Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + .... + a1 x + a0 seklindeki ifadelere x degiskenine bagli, reel katsayili n?inci dereceden bir polinom denir.

• an xn, an-1 xn-1, ...., ak xk, ....., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
• an, an-1, ...., ak, ...., ay, a0 reel sayilarina, polinomun terimlerinin katsayilari denir.
• P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayisina polinomun derecesi denir ve[P(x)]=n seklinde gösterilir.
• Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayisina polinomun katsayisi, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
• P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 seklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an-1xn-1 + anxn biçiminde siralanir.

• Katsayilari reel sayilardan olusan polinoma ?Reel Katsayili Polinom? denir ve reel katsayili polinomlar kümesi R[x]  ile gösterilir.

Örnek:
P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olmasi için n Î N kaç olmalidir?
Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir dogal sayi olmasi gerekir bunun için n yerine verilecek sayinin 3?ün bölenleri olmalidir.
3?ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3  Ayrica n-2 ³ 0 den n ³ 2 olmasi gerekir. O halde bu iki sarti da gerçekleyen n = 3 sayisidir. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

ÇOK DEGISKENLI POLINOM

P(x, y) = x3y2 ? 2x4 y3 + xy + x ? y + 1 seklindeki polinomlara x ve y degiskenlerine bagli reel katsayili bir polinom denir.
Bu polinomlarin derecesi x ve y?nin dereceler toplaminin en büyügüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y)  dir.
Yukaridaki iki degiskenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y?nin dereceler toplamidir.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.
Örnek:
P(x, y) = 2x2y4 ? 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtir?
Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarida belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.
Örnek:
P(x) = x3 ? 3x2 + 4x ? 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?
Çözüm:
P(2) = 23 ? 3.22 + 4.2 ? 2
= 8 ? 12 + 8 ? 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 ? 3.02 + 4.0 ? 2 = - 2  bulunur.
P(1) = 13 ? 3.12 + 4.1 ? 2
= 1 ? 3 + 4 ? 2 = 0 bulunur.     

SIFIR POLINOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sifir polinomu denir.
Sifir polinomu, 0 ile gösterilir. Sifir polinomunun derecesi belirsizdir.
Örnek:
P(x) = (m + 3)x2 + (n ? 5) x + 1 polinomunun sifir polinomu olmasi için; m, n ve t reel sayilarini belirtelim.

Çözüm:

P(x) polinomunun sifir polinomu olmasi için; 
m + 3 = 0,      n ? 5 = 0,      t = 0 ;
m = -3,           n = 5,      t = 0 olmalidir.

SABIT POLINOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = ... = a1 = 0 ve a0 ¹ 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.
0xn + 0xn-1 + ... + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile  gösterilir.
x0 = 1 oldugundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazilabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dir.
Örnek:
P(x) = (a ? 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olmasi için, a ve b sayilarini belirtelim.

Çözüm:

P(x) = A ? 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olmasi için, a ? 4 = 0 ve b = 0 olmalidir. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dir.

IKI POLINOM ESITLIGI

Dereceleri ayni ve ayni dereceli terimlerinin kat sayilari esit olan iki polinoma esit polinomlar denir.
n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b2x2 + b1x + b0  polinomlari için;
A(x) = B(x) Û an = bn, an-1 = bn-1, ... , a2 = b2, a1, a0 = b0 dir.
Örnek:
A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,
B(x) = (b - 1)x3 ? 3x2 ? (2c ? 3) x +  polinomlari veriliyor. A(x) = B(x) olmasi için; a, b, c ve d yi bulalim.

Çözüm:

A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a +  1)x2 + 0x + d,                                           
B(x) = (b ? 1)x3  - 3x2 ? (2c ? 3)x +    oldugundan;
A(x) = B(x) ? 5 = b ? 1, a + 1 = -3,  0 = -(2c ? 3), d =    
b = 6,             a = -4,   c = ,          d =    dir.

POLINOM FONKSIYONLARI

P : R ® R
x ® P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0  fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.
P : R ® R
x ® P(x) = 5x3 + 2x2 ? 3x + 1  ifadesi polinom fonksiyonudur.
Örnek:
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm:

I.Yol:

P(x-1)?i bulmak için P(x)?de x yerine x-1?i yazalim.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 ? 2x + 1 + 2x ? 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II.Yol:

Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazip x yerine x-1?i yazalim.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.
Örnek:
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 ? 2x2 + 4 esitligi veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm:

P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 esitliginde
H = x + 2 ?  h ?2 = x?i yerine yazalim.
P(h ? 2 + 2) =  (h ? 2)3 ? 2(h ? 2)2 + 4
P(h) = (h ? 2)3 ? 2(h ? 2)2 + 4
P(x) = (x ? 2)3 ? 2(x ? 2)2 + 4 bulunur.

POLINOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0    polinomunda x = 1 yerine yazilirsa
P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0  katsayilar toplami bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazilirsa sabit terimi bulunur.
Örnek:
P(x) = 2x4 + 5x3 ? 3x2 + x ? 1 polinomunun katsayilari toplamini bulunuz.

Çözüm:

P(x) de x = 1 ?i yerine yazalim.
P(1) = 2.14 + 5.13 ? 3.12 + 1-1
= 2 + 5 ? 3 + 1 ? 1 = 4  bulunur.

POLINOMLARDA ISLEMLER

1. Polinomlarda Toplama Islemi:
A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomlari verilsin, bu iki polinomu toplarken ayni dereceli terimler kendi arasinda toplanarak iki polinomun toplami elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0
Örnek:
P(x) = x3 + 2x2 ? 3x + 1, Q(x) = 3x2 + Ö3 x + 4 polinomlarinin toplami olan polinomu bulunuz.

Çözüm:

P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + Ö3) x + 1 + 4
= x3 + 5x2 + (Ö3-3) x + 5 dir.
Buna göre iki polinomun toplami yine bir baska polinom oldugundan polinomlar toplama islemine göre kapalidir.
Polinomlarda Toplama Isleminin Özellikleri:

• Polinomlar kümesi, toplama islemine göre kapalidir.
• Polinomlar kümesinde toplama isleminin degisme özelligi vardir.
• Polinomlar kümesinde toplama isleminin birlesme özelligi vardir.
• Sifir polinomu, polinomlar kümesinde toplama islemine göre birim elemanidir.
• Her polinomun, toplama islemine göre tersi vardir.

2. Polinomlarda Çikarma Islemi:

P(x) ve Q(x) polinomlari için,  P(x) ? Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) ? Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farki denir.

Örnek:

A(x) = 5x4 + x3 ? 3x2 + x + 2 ve
B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 +     polinomlari için, A(x) ? B(x) farkini bulalim.

Çözüm:

B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 +  ise,   -B(x) = 5x4 - x3 ? 2x2 -  dir.
A(x) ? B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5x4 + x3 ? 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 ?2x2 - )
= (5 + 5)x4 + (-)x3 + (-3 ?2)x2 +  x + (2 - )
= 10x4 ? x3 ? 5x2 + x -  olur.
Bu örnekte görüldügü gibi, iki polinomun farki da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomlari için, A(x) ? B(x) ifadesi de polinom oldugundan; polinomlar kümesi, çikarma islemine göre kapalidir.

3. Polinomlarda Çarpma Islemi:

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpimi, A(x) ?in her terimi B(x)?in her terimi ile ayri ayri çarpilarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpimi
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5x3) . (-2x4) = 5 . (-2) x3+4 = -10x7
Bu çarpmaya göre asagidaki esitligi yazabiliriz.
Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek:

A(x) = 3x4 + 1,   B(x) = x2 + x
C(x) = x2 ? x + 1  polinomlari veriliyor.

• A(x) . B(x)
• B(x) . C(x)  çarpimlarini bulunuz.

Çözüm:

• A(x) . B(x)  =  (3x4 + 1) . (x2 + x)

        =  3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x
=  3x6 + 3x5 + x2 + x

• B(x) . C(x)  =  (x2 + x) . (x2 ? x + 1)

        =  x2 . x2 ? x2 . x + x2 . 1 + x . x2 ? x . x + x . 1
=  x4 ? x3 + x2 + x3 ? x2 + x + 1
=  x4 + x + 1   bulunur.
Polinomlarda Çarpma Isleminin Özellikleri:

• Kapalilik (iki polinomun çarpimi yine bir  polinomdur.
• Degisme özelligi vardir.
• Birlesme özelligi vardir.
• Çarpma isleminin birim (etkisiz) elemani P(x) = 1 sabit polinomudur.
• Polinomlar kümesinde çarpma islemine göre bazi polinomlarin tersi yoktur.

Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom degildir.
6.         Polinomlar kümesinde çarpma isleminin toplama islemi üzerine dagilma özelligi vardir.
A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)
Polinomlar Halkasi
Toplama ve çarpma isleminin özelliklerinden görüldügü gibi R[x] polinomlar kümesi;

• (R[x],+) sistemi degismeli gruptur.
• R[x] kümesi çarpma islemine göre kapali ve çarpma isleminin birlesme özelligi vardir.
• R[x] kümesinde çarpma isleminin toplama islemi üzerinde dagilma özelligi vardir.

O halde (R[x], + , .  ) sistemi bir halkadir. Buna polinomlar halkasi denir.
4. Polinomlarda Bölme Islemi:
A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü
A(x)          B(x)

• T(x)

ê
.
-___________
R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) seklinde yazilir.
Bu bölme islemi yapilirken asagidaki hususlara dikkat edilmelidir:

• Polinomlar azalan kuvvetlerine göre siralanmalidir.
• Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalidir.

derB(x)  < derA(x)

• Kalanin derecesi bölenin derecesinden küçük olmalidir.

derR(x) < derB(x)

• R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.
• derA(x) = derB(x) + derT(x)

der = derA(x) ? derB(x) dir.
Örnek:
P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x ? 1 polinomuna bölelim.
x4 ? 2x2 + x + 5            x2 + 3x ? 1
_____________                                 = x2
x2- 3x + 8

   ± x4 ± 3x3 ± x2                                                                                     = -3x
-__________________   
-3x3 ? x2 + x + 5                                                           = 8
±3x3 ± 9x2 ±3x
-_________________
8x2 ? 2x + 5
± 8x2 ± 24x ±8
-_________________
- 26x + 13

Bölüm : x2 ? 3x + 8
Kalan  : -26x + 13
Horner Metodu
Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomlarin çarpimindan olusuyorsa bu metot uygulanabilir.
Örnek:
Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x ? a) ? ya bölelim.
Çözüm:

• Bölünen polinomun katsayilari x?in azalan kuvvetlerine göre siralanir.
• Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacagi için bölümde x3?ün katsayisi 0 olur.
• p katsayisi asagiya aynen yazilir.
• a, p ile çarpilir, q?nun altina yazilarak toplanir. Ap + q olarak yazilir.

Bu isleme, kalan bulunana kadar devam edilir.
px3 + qx2 + rx + s,  x ? a = 0  ise  x = a
Örnek:
P(x) = x4 ? x3 + 3x + 4 polinomunun x ? 2?ye bölündügünde bölüm ve kalani horner metodu yardimiyla bulunuz.
Çözüm:
P(x)?in katsayilarini belirleyip tabloda gösterelim. Ayrica x ?2 = 0 ? x = 2 ?yi yerine yazalim.
Bölümün Katsayilari                                                 Kalan
-1         0          3          4
2          1          2         2          4          14
1          1         2          7          18

                                  Bölümün  Katsayilari             Kalan

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
Kalan  R(x) = 18 bulunur.
Bölme Islemi Yapmadan Kalan Bulma
Bir P(x) Polinomunun  ?x ? a?  ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan
Bir P(x) polinomunun (x ? a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x ? a) birinci dereceden  oldugundan, kalan sabit bir sayidir. P(x) = (x ? a) Q (x) + k esitligi her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k ? P(a) = k bulunur.
Bir P(x) polinomunun (x ? a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya esittir. O halde, bir polinomun (x ? a) ile bölünmesinden kalani bulmak için (x ? a = 0 ? x = a olur.) polinomda x yerine a degeri yazilir.
Örnek:
P(x) = x2 ? 3x + 21 polinomunun (x ? 2) ile bölünmesinden elde edilen kalani bulunuz.
Çözüm:
X ? 2 = 0 ? x = 2 dir. Bulacagimiz kalan P(2) olacaktir. Öyleyse, P(2) = 22 ? 3 . 2 + 21 = 19 olur.
Bir P(x) Polinomunun  ?ax + b?  ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
Bölen birinci dereceden oldugundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalim. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k  yazilir.
Ax + b = 0 ? x =  olur. Polinomda x yerine  yazilirsa P() = k bulunur. O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalani bulmak için polinomda x yerine  yazilir.
Örnek:
P(x) = x3 ? 4x + 1 polinomunun 2x ? 1 ile bölünmesinden kalani bulunuz.
Çözüm:
P () = - 4. + 1 = - 2 + 1 =  olur.
Bir P(x) Polinomunun  ?x2 + a?,  ?x3 + a?,  ?x4 + a?  ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalani bulmak için polinomda x2 yerine ?a yazilir.
P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalani bulmak için polinomda x3 yerine ?a yazilir.
P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalani bulmak için polinomda x4 yerine ?a yazilir.
Örnek:
P(x) = x4 ? x3 + x2 + 7x ?1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalani bulunuz.
Çözüm:
Istenen kalani bulmak için (x2 + 2 = 0 ? x2 = -2) polinomda x2 yerine ?2 yazariz.
P(x) = x2 . x2 ? x2 . x + x2 + 7x ? 1 olur.
Kalan : (-2) ( -2) ? (-2) . x ? 2 + 7x ? 1 = 4 + 2x + 7x ? 3 = 9x + 1 bulunur.
Bir Polinomun (x ? a).(x ? b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan
Bir P(x) polinomunun (x ? a) . (x ? b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen  P(x)  polinomu önce (x ? a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x ? b) ile bölünür.
Örnek:
Bir P(x) polinomunun (x + 3).(x ? 2) ile bölünmesinden kalani bulunuz.
Çözüm:
(x + 3).(x ? 2) polinomu 2. dereceden olduguna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdesligi yazilirsa,
P(x) = (x + 3) (x ? 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.
P(-3) = -5 ve P(2) = 4 oldugu veriliyor.
P(-3) = (-3 + 3) (-3 ?2) . B (-3) ?3a +b  ? P(-3) = -3a + b
P(2) = (2 + 3) (2 ? 2) . B(2) + 2a +b       ? P(2) = 2a +b  olur.
-3a + b = -5
2a + b  = 4
denklem sistemi çözülürse, a =  ve b =  olur. Buradan, K(x) = x +  bulunur.
Örnek:
Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan ?2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayilari toplami 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x ? 1) ile bölünmesinden kalani bulunuz.
Çözüm:
Bir P(x) polinomunun kat sayilari toplamini bulmak için polinomda x yerine 1 yazilir. P(1) verilen polinomun kat sayilari toplamidir. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diger taraftan kalan, en fazla 2. dereceden  ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdesligi yazilirsa;
P(x) = (x2 + 2) (x ? 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,
x = 1 için P(19 =  (1 + 2) . (1 ? 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
x2 = -2 yazilirsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.
bx + c ? 2a = -2x + 6 ? b = -2  ve c-2a = 6 olur. Ayrica, b = -2 ise a + b + c = 7 den
a ? 2 + c = 7 ? a + c = 9 dur.
c - 2a = 6
a + c = 9
Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Öyleyse, K(x) = x2 ? 2x + 8  olur.