POLİNOM ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER-LİES KONU ANLATIMLARI-BİLGİMCE Eğitim ve Kültür Platformu

 

 Örnek


a) x4 + 5x2 ? 7x + 6

Çözüm     Dördüncü dereceden polinom.


b)x3 + + 4
x3 + + 4 = x3 + 3x-1 + 4 ifadesi polinom degildir. Çünkü ?1 üssü dogal sayi degildir.

c)5x6 + + 1
5x6+ + 1= 5x6 + x1/2 + 1 ifadesi polinom degildir. Çünkü üssü dogal sayi degildir.

d)2x + 7
Birinci dereceden polinom.
e)x3 + x2 ? 7x + 5

Üçüncü dereceden polinom.

P(x) = a , (a R) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun dercesi sifirdir.
Örnek

P(x) = 4
Q(x) = Polinomlari sabit polinomlardir.

Örnek

P(2x ? 3) = x4 + 2x2 ? x + 5 ise P(1) in degerini bulunuz.

Çözüm

2x ? 3 = 1 => x = 2 yazilir.
P(4 ? 3) = 16 + 8 ? 2 + 5
P(1) = 24 + 3 = 27 bulunur.

Örnek

P(2x ? 3) = 4x2 + 6x + 1 olduguna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm

P(2x - 3) ifadesinden P(x) i elde etmek için fonksiyonlarda oldugu gibi x yerine 2x-3 ün tersi yazilir.
P(2x ? 3) = 4x2 + 6x + 1
P(x) = 4 ()2 + 6 () + 1
P(x) = 4 . + 3(x + 3) + 1
P(x) = x2 + 6x + 9 +3x + 9 + 1
P(x) = x2 + 9x + 19 olur.

IKI DEGISKENLI POLINOMLAR

P(x , y) = 3x4y3 + 5x3y + 6x ? 2y + 5 ifadesi x ve y? ye göre yazilmis reel katsayili polinomdur
. Bu polinomda

3x4y3 terimin derecesi 3 + 4 = 7
5x3y terimin derecesi 3 + 1 = 4
6x terimin derecesi 1
- 2y terimin derecesi 1
5 terimin derecesi 0
P(x , y) polinomunun derecesi 7 dir.

Örnek

P(x , y) = 2x3y2 ? x2y + 2y ? x + 2
P(1 , 2) nin degerini bulunuz.
Çözüm

X = 1 , y = 2 yazilir.
P (1 , 2) = 2 . 1 . 4 ? 1 . 2 + 2 . 2 ? 1 + 2
P (1 , 2) = 8 ? 2 + 4 + 1 = 11 bulunur
Örnek

X3 + 2x2 + 3x + 5 = (x2 + x + 1)(x + a) + bx+c
Esitligini saglayan c kaçtir ?

Çözüm

X3 + 2x2 + 3x + 5 = x3 + ax2 + x2 + ax + x + a +bx + c
X3+ 2x + 3x + 5 = x3 + (a + 1)x2 + (a + b + 1)x +a +c
a+ 1 = 2 => a = 1
a + b + 1 = 3 => 1 + b + 1 = 3 => b = 1
a + c = 5 => 1 + c = 5 => c =4 olur.
KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an ? 1 xn ? 1 + ... + a0 polinomunda x = 1 yazilirsa

örnek
P(x) = (3x2 ? 2x + 4).(x3 + 2x + 3) polinomunun katsayilar toplamini bulunuz.
Çözüm

X = 1 yazilir
P(1) = (3 ? 2 + 4).(1 + 2 + 3)
= 5 . 6
= 30 bulunur.
Örnek

P(3x + 4) = 5x3 ? 7x2 ? 3x + 5
Polinomu veriliyor. P(x) polinomunun katsayilar toplamini bulunuz.

Çözüm

P(x) polinomunun katsayilar toplami P(1) dir.
P(3x + 4) = p(1) => 3x + 4 = 1
X = - 1
P(3x + 4) polinomunda x = - 1 yazilirsa P(1) bulunur.
P(1) = 5(-1)3 ? 7(-1)2 ? 3(-1) + 5
= - 5 ? 7 + 3 + 5
= - 4
polinomunda sabit terimi bulmak için x = 0 yazilir.
Örnek

P(2x + 4) = 3x2 ? x + 7 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun sabit terimini bulunuz.
Çözüm

P(x) polinomunun sabit terimi P(0) dir.
P(2x + 4) polinomunda 2x + 4 = 0 => x = -2 yazlilir.
P(0) = 3(-2)2 ? (-2) + 7
P(0) = 12 + 2 +7 = 21 olur.

Iki polinom toplanirken dereceleri ayni olan terimlerin katsayilari toplanir.

Örnek

P(x) = 3x3 ? 7x2 + 6x + 2
Q(x) = 2x3 + x2 ? 7x + 5
Polinomlarinin toplamini bulunuz.
Çözüm

P(x) + Q(x) = (3x3 ? 7x2 + 6x + 2) + (2x3 + x2 ? 7x + 5)
= (3 + 2)x3 + (-7 + 1)x2 + (6 ? 7)x + (2 + 5)
= 5x3 ? 6x2 ? x + 7 olur.

iki polinomun çarpimi , P(x) in her terimi , Q(x) in her terimi ile ayri ayri çarpilarak yapilir.
Örnek

P(x) ve Q(x) iki polinomdur.
Q(x) = P(x2) . P(x3) ise Q(x) ? in derecesi nedir?

Çözüm

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a0
P(x2) = an x2n + an-1 x2n-2 + ... + a0
P(x3) = an x3n + an-1 x3n-3 + ... +a0
Q(x) = P(x2) . P(x3)
Q(x) in derecesi 2n + 3n = 5n olur. 5 in katlari olmalidir.

ÖRNEK:

P(x) = 2x ? 1
Q(x) = x3 + 3x2 + 2 polinomlarinin çarpimini bulunuz.

ÇÖZÜM:

P(x).Q(x) = (2x ? 1).(x3 + 3x2 + 2)

= 2x4 + 6x3 + 4x ? x3 ? 3x2 ? 2

= 2x4 + 5x3 ? 3x2 + 4x - 2

POLINOMLARDA BÖLME

P(x)? in derecesi , Q(x) ? in derecesinden küçük olmamak ve K(x)? in derecesi B(x)? in derecesinden küçük olmak üzere ;
P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
Esitligini saglayan B(x) polinomuna, P(x)?in Q(x)? e bölümü ve K(x) polinomuna da kalan denir.

Örnek

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x + 2 polinomunu
Q(x) = x2 + x +1 polinomuna bölerek bölümü ve kalani bulunuz.






Çözüm

2x3 + 3x2 + 5x + 2 x2 + x + 1
2x3 2x2 2x 2x + 1
x2 + 3x + 2
x2 x 1
2x + 1
Bölüm = 2x + 1
Kalan = 2x + 1

Örnek

P(x) polinomu x + 3 ile bölündügünde bölüm x2 + x + 2 ve kalan 7 ise P(x) polinomu nedir?

Çözüm

P(x) = (x + 3) (x2 + x + 2) + 7
P(x) = x3 + x2 + 2x + 3x2 + 3x + 6 + 7
P(x) = x3 + 4x2 + 5x + 13
Örnek

P(x) polinomunun x + 2 ile bölünmesinde bölüm Q(x) ve kalan 3 tür. Q(x) polinomunun x ? 1 ile bölümündeki kalan 6 dir. Buna göre , P(x) ? in (x2 + x ? 2) ile bölünmesindeki kalan nedir?
Çözüm

P(x) = (x + 2) Q(x) + 3
Q(x) = (x ? 1) . T(x) + 6 yazilir.
Ilk esitlikte Q(x) yerine ikinci esitlik yazilir.
P(x) = (x + 2) [(x ? 1) . T(x) + 6] + 3
= (x2 + x ? 2) T(x) + 6x + 12 + 3
= (x2 + x ? 2) T(x) + 6x + 15

Bölen Kalan
Kalan = 6x + 15 bulunur.

HORNER YÖNTEMI
Bu yöntem , bölen polinom birinci dereceden bir polinom oldugunda kolaylik saglar.



Örnek

P(x) = 3x3 ? 5x2 + 2x + 4 polinomunu
Q(x) = x + 2 polinomuna bölerek bölüm ve kalani bulunuz.







Çözüm

1)Böleni sifir yapan x degeri bulunur.
x + 2 = 0 => x = - 2
2) Polinomun katsayilari assagida görüldügü gibi sira ile (büyük dereceli terimden baslayarak) yazilir.


Ilk terim olan 3 ile ?2 nin çarpimi ?5 in altina yazilir. ?5 ile ?6 toplanir. ?2 ile -11 in çarpimi 2 nin altina yazilir. 2 ile 22 toplanir. ?2 ile 24 çarpimi 4 ün altina yazilir ve toplanir. Son kalan sayi kalani verir. Diger sayilar bölümün katsayilaridir.

Kalan = -44
Bölüm = 3x2 ? 11x + 24 bulunur.

(Bölen birinci dereceden oldugundan , bölümün derecesi bölünenden bir derece küçüktür.)

Örnek

P(x) = x4 + ax2 + bx + c polinomunun
(x ? 1)3 ile tam bölünebilmesi için c kaç olmalidir?
Çözüm


a + 6 = 0 => a = -6
2a + b + 4 = 0 => - 12 + b + 4 = 0 => b = 8
a + b + c + 1 = 0 => - 6 + 8 + c + 1 = 0
=> c = - 3





BIR POLINOMUN (ax + b) ILE BÖLÜMÜNDEKI KALANI , BÖLME YAPMADAN BULMAK


P(x) = (ax + b) B(x) + K esitliginde ,
Ax + b = 0 => x = - yazilirsa ,      P(- ) = K olur.

Örnek

P(x) = x4 + 3x2 + ax + 2 polinomu x ? 1
Ile tam bölünebildigine göre x ? 2 ile bölümündeki kalan kaçtir?
Çözüm

P(x) polinomu (x ? 1) ile bölünebildigine göre
P(1) = 0 dir.
P(1) = 1 + 3 + a + 2 = 0
a = - 6
P(x) = x4 + 3x2 ? 6x + 2
P(2) = 16 + 12 ? 12 + 2 = 18

Örnek

P(x) = 3x2 + 5x + m polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 8 ise m kaçtir?
Çözüm

x + 1 = 0 => x = -1
P(-1) = 8 dir.
P(-1) = 3 ? 5 + m = 8
m = 10
Örnek

P(x) ve Q(x) polinomlarinin x + 2 ile bölümünden kalanlar sirayla 3 ve ?2 olduguna göre a? nin hangi degeri için xP(x) + aQ(x) polinomu x + 2 ile tam olarak bölünür?
Çözüm

P(-2) = 3 ve Q(-2) = -2
XP(x) + aQ(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalani bulmak için x = -2 yazilir ve sifira esitlenir.
-2P(-2) + aQ(-2) = 0
ð -2 . 3 + a . (-2) = 0
ð -6 ? 2a = 0
ð a = - 3 bulunur.

Örnek

= x2 + x + 5 bagintisi veriliyor. Q(x) polinomunun x ? 2 ile bölümünden kalan 4 olduguna P(7) nin degeri nedir?
Çözüm

Q(x) polinomu (x ? 2) ile bölündügünde kalan 4 olduguna göre Q(2) = 4 tür.
= x2 + x + 5 esitliginde x yerine 2 yazilirsa ,
= 4 + 2 + 5 => = 11
=> P(7) = 44 olur.

BIR POLINOMUN (xn + a) ILE BÖLÜMÜNDEKI KALANIN BULUNMASI

P(x) polinomunda xn yerine ?a yazilarak , bu polinomun (xn + a) ile bölümündeki kalan bulunur.


Örnek

P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1 polinomunun x2 + 1 ile bölümündeki kalan nedir?
Çözüm

x2 = -1 yazilir
P(x) = x2 . x + 3x2 + 2x + 1
K(x) = - x ? 3 + 2x + 1
K(x) = x ? 2

Örnek

P(x) = x35 + 3x21 + x14 + 5
Polinomunun x7 + ile bölümünden elde edilen kalan nedir?
Çözüm

x7 + = 0 => x7 = - yazilir.
P(x) = (x7)5 + 3(x7)3 + (x7)2 + 5
Kalan = (-)5 + 3(-)3 + (-)2 + 5
= - - 3 + 8 + 2 +5
= - 4- 6 + 7
= 7 - 10 olur.
Örnek

P(x) = x3 + 3x2 + ax + b polinomunun x2 ? x + 1 ile bölümünden kalanin 7x ? 5 olmasi için a + b toplami kaç olmalidir?
Çözüm

x2 ? x + 1 = 0 => x2 = x ? 1 yazilir.
Ve elde edilecek kalan 7x ? 5 e esitlenir.
P(x) = x3 + 3x2 + ax + b
K(x) = x . x2 + 3(x ? 1) + ax + b
K(x) = x(x ? 1) + 3x ? 3 + ax + b
K(x) = x2 ? x + 3x ? 3 + ax + b
K(x) = ax + 3x + b ? 4
K(x) = (a + 3)x + b ? 4
(a + 3)x + b ? 4 = 7x ? 5
a + 3 = 7 => a = 4
b ? 4 = -5 => b = -1
a + b = 4 ? 1 = 3 olur.

NOT

P(x) polinomunun (ax + b)3 ile tam bölünebilmesi için P?(x) ve P?(x) türev polinomlarinin da (ax + b) ile tam bölünmesi gerekir.
P(x) = (ax + b)3 . B(x)
P?(x) = 3a (ax + b)2 B(x) + (ax + b)3 B?(x)
P?(- ) = 0 olur.
Ayni sekilde P?(x) (ikinci türev) polinomununda (ax + b) ile tam bölündügü gösterilir.

Örnek

P(x) = x4 + ax2 + bx + c polinomunun (x + 1)3 ile bölünebilmesi için c kaç olmalidir?
Çözüm

P(x) = x4 + ax2 + bx + c
P?(x) = 4x3 + 2ax + b
P?(x) = 12x2 + 2a
P?(-1) = 12 + 2a = 0 => a = - 6
P?(-1) = - 4 ? 2a + b = 0 => - 4 + 12 + b = 0 => b = - 8
P(-1) = 1 + a ? b + c = 0 => 1 ? 6 + 8 + c = 0
c = - 3 olur .

 

Örnek:
N kaçÎP(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olmasi için n  olmalidir?

Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir dogal sayi olmasi gerekir bunun için n yerine verilecek sayinin 3?ün bölenleri olmalidir.
3?ün bölenleri ise  2 olmasi gerekir. O halde bu³ 0 den n ³n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrica n-2  iki sarti da gerçekleyen n = 3 sayisidir. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

ÇOK DEGISKENLI POLINOM

P(x, y) = x3y2 ? 2x4 y3 + xy + x ? y + 1 seklindeki polinomlara x ve y degiskenlerine bagli reel katsayili bir polinom denir.

Bu polinomlarin derecesi x ve y?nin dereceler toplaminin en büyügüdür.
P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.

Yukaridaki iki degiskenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y?nin dereceler toplamidir.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek
P(x, y) = 2x2y4 ? 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtir?

Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarida belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek
P(x) = x3 ? 3x2 + 4x ? 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 ? 3.22 + 4.2 ? 2
= 8 ? 12 + 8 ? 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 ? 3.02 + 4.0 ? 2 = - 2 bulunur.
P(1) = 13 ? 3.12 + 4.1 ? 2
= 1 ? 3 + 4 ? 2 = 0 bulunur.

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n ? 5) x + 1 polinomunun sifir polinomu olmasi için; m, n ve t reel sayilarini belirtelim.

Çözüm
P(x) polinomunun sifir polinomu olmasi için;
m + 3 = 0, n ? 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalidir.
Örnek
P(x) = (a ? 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olmasi için, a ve b sayilarini belirtelim.

Çözüm
P(x) = A ? 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olmasi için, a ? 4 = 0 ve b = 0 olmalidir.
Buna göre,                    a = 4 ve b = 0 dir.

Örnek
A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d,
B(x) = (b - 1)x3 ? 3x2 ? (2c ? 3) x + polinomlari veriliyor. A(x) = B(x) olmasi için; a, b, c ve d yi bulalim.

Çözüm
A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d
= 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b ? 1)x3 - 3x2 ? (2c ? 3)x + oldugundan;
5 = b ? 1,?A(x) = B(x)  a + 1 = -3, 0 = -(2c ? 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.
Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x-1)?i bulmak için P(x)?de x yerine x-1?i yazalim.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 ? 2x + 1 + 2x ? 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazip x yerine x-1?i yazalim.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 ? 2x2 + 4 esitligi veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 esitliginde
h ?2 = x?i yerine yazalim.?H = x + 2
P(h ? 2 + 2) = (h ? 2)3 ? 2(h ? 2)2 + 4
P(h) = (h ? 2)3 ? 2(h ? 2)2 + 4
P(x) = (x ? 2)3 ? 2(x ? 2)2 + 4 bulunur.

POLINOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazilirsa
P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0 katsayilar toplami bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazilirsa sabit terimi bulunur.

Örnek
P(x) = 2x4 + 5x3 ? 3x2 + x ? 1 polinomunun katsayilari toplamini bulunuz.

Çözüm
P(x) de x = 1 ?i yerine yazalim.
P(1) = 2.14 + 5.13 ? 3.12 + 1-1
= 2 + 5 ? 3 + 1 ? 1 = 4 bulunur.
Örnek

A(x) = 5x4 + x3 ? 3x2 + x + 2 ve

B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomlari için, A(x) ? B(x) farkini bulalim.

Çözüm
B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 ? 2x2 - dir.
A(x) ? B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5x4 + x3 ? 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 ?2x2 - )
= (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 ?2)x2 + x + (2 - )
= 10x4 ? x3 ? 5x2 + x - olur.
Bu örnekte görüldügü gibi, iki polinomun farki da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomlari için, A(x) ? B(x) ifadesi de polinom oldugundan; polinomlar kümesi, çikarma islemine göre kapalidir.
Örnek:
Örnek
A(x) = 3x4 + 1,
B(x) = x2 + x
C(x) = x2 ? x + 1 polinomlari veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpimlarini bulunuz.

Çözüm
a) A(x) . B(x) = (3x4 + 1) . (x2 + x)
= 3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x
= 3x6 + 3x5 + x2 + x

b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 ? x + 1)
= x2 . x2 ? x2 . x + x2 . 1 + x . x2 ? x . x + x . 1
= x4 ? x3 + x2 + x3 ? x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.
Örnek
P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x ? 1 polinomuna bölelim.

x4 ? 2x2 + x + 5 x2 + 3x ? 1
_____________                              = x2
x2- 3x + 8


± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x
-_________________
-3x3 ? x2 + x + 5 = 8

±3x3 ± 9x2 ±3x
-_________________
8x2 ? 2x + 5

± 8x2 ± 24x ±8
-_________________
- 26x + 13

Bölüm : x2 ? 3x + 8
Kalan : -26x + 13
Örnek
P(x) = x4 ? x3 + 3x + 4 polinomunun x ? 2?ye bölündügünde bölüm ve kalani horner metodu yardimiyla bulunuz.

Çözüm
P(x)?in katsayilarini belirleyip tabloda gösterelim. Ayrica x ?2 = 0  x = 2 ?yi yerine? yazalim.

Bölümün Katsayilari Kalan



-1 0 3 4
2 1 2 2 4 14
1 1 2 7 18

Bölümün Katsayilari Kalan

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
Kalan R(x) = 18 bulunur.
Örnek
P(x) = x2 ? 3x + 21 polinomunun (x ? 2) ile bölünmesinden elde edilen kalani bulunuz.

Çözüm
x = 2 dir. Bulacagimiz kalan P(2)?X ? 2 = 0  olacaktir. Öyleyse, P(2) = 22 ? 3 . 2 + 21 = 19 olur.
Örnek
P(x) = x3 ? 4x + 1 polinomunun 2x ? 1 ile bölünmesinden kalani bulunuz.

Çözüm
P ( ) = - 4. + 1 = - 2 + 1 = olur.

Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalani bulmak için polinomda x2 yerine ?a yazilir.
P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalani bulmak için polinomda x3 yerine ?a yazilir.
P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalani bulmak için polinomda x4 yerine ?a yazilir.

Örnek
P(x) = x4 ? x3 + x2 + 7x ?1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalani bulunuz.

Çözüm
Istenen kalani bulmak için (x2 + 2  x2 = -2) polinomda x2 yerine ?2 yazariz.?= 0
P(x) = x2 . x2 ? x2 . x + x2 + 7x ? 1 olur.
Kalan : (-2) ( -2) ? (-2) . x ? 2 + 7x ? 1 = 4 + 2x + 7x ? 3 = 9x + 1 bulunur.

Bir Polinomun (x ? a) (x ? b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan
Bir P(x) polinomunun (x ? a) . (x ? b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x ? a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x ? b) ile bölünür.

Örnek
Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x ? 2) ile bölünmesinden kalani bulunuz.

Çözüm
(x + 3) (x ? 2) polinomu 2. dereceden olduguna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdesligi yazilirsa,
P(x) = (x + 3) (x ? 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.
P(-3) = -5 ve P(2) = 4 oldugu veriliyor.
?P(-3) = (-3 + 3) (-3 ?2) . B (-3) ?3a +b  P(-3) = -3a + b
P(2) = 2a +b?P(2) = (2 + 3) (2 ? 2) . B(2) + ?a +b  olur.

-3a + b = -5
2a + b = 4
denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur. Buradan, K(x) = x + bulunur.

Örnek
Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan ?2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayilari toplami 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x ? 1) ile bölünmesinden kalani bulunuz.

Çözüm
Bir P(x) polinomunun kat sayilari toplamini bulmak için polinomda x yerine 1 yazilir. P(1) verilen polinomun kat sayilari toplamidir. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diger taraftan kalan, en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdesligi yazilirsa;
P(x) = (x2 + 2) (x ? 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,
x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 ? 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
x2 = -2 yazilirsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.
b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrica, b = -2 ise a?bx + c ? 2a = -2x + 6  + b + c = 7 den
a + c = 9 dur.?a ? 2 + c = 7
c - 2a = 6
a + c = 9
Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x2 ? 2x + 8 olur.
ÖRNEK:

P(x) = (2x2 + x + 3)5 polinomunda sabit terimi bulunuz.

ÇÖZÜM:

P(0) = 35 = 243
ÖRNEK:

P(x) = 3x3 ? 7x2 + 6x + 2
Q(x) = 2x3 + x2 ?7x + 5
polinomlarin toplamini bulunuz.

ÇÖZÜM:

P(x) + Q(x) = (3x3 ? 7x2 + 6x + 2) + (2x3 + x2 ?7x + 5)
= (3 + 2)x3 + (-7 + 1)x2 + (6 ? 7)x + (2 + 5)
= 5x3 ? 6x2 ? x + 7