ÖZEL ÜÇGENLER
| Bir açisinin ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karsisindaki kenara hipotenüs, diger kenarlara dik kenar adi verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenaridir.
sekilde, m(A) = 90°
[BC] kenari hipotenüs
[AB] ve [AC] kenarlari
dik kenarlardir. |
 |
| Dik üçgende dik kenarlarin uzunluklarinin kareleri toplami hipotenüsün uzunlugunun karesine esittir.
ABC üçgeninde m(A) = 90°
|
 |
1. (3 - 4 - 5) Üçgeni
Kenar uzunluklari (3 - 4 - 5) sayilari veya bunlarin kati olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), ? gibi |
 |
2. (5 - 12 - 13) Üçgeni
Kenar uzunluklari (5 - 12 - 13) sayilari ve bunlarin kati olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir. (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), ? gibi. |
 |
| Kenar uzunluklari 8, 15, 17 sayilari ile orantili olan üçgenler dik üçgenlerdir. |
 |
| Kenar uzunluklari 7, 24, 25 sayilari ile orantili olan üçgenler dik üçgenlerdir. |
 |
3. Ikizkenar dik üçgen
ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = aÖ2
m(A) = m(C) = 45° Ikizkenar dik üçgende
hipotenüs dik kenarlarin Ö2 katidir. |
 |
4. (30° ? 60° ? 90°) Üçgeni
ABC eskenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündügünde
ABH ve ACH (30° - 60° - 90°)
üçgenleri elde edilir.
|AB| = |AC| = a
| |BH| = |HC| = |
 |
| pisagordan |
 |
|
 |
| (30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karsisindaki kenar
hipotenüsün yarisina esittir. 60° nin karsisindaki kenar,
30° nin karsisindaki kenarin Ö3 katidir. |
 |
| 5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni
(30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açilarin karsilarindaki kenarlara a dersek 120° lik açinin karsisindaki kenar aÖ3 olur. |
 |
| 6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni
(15° - 75° - 90°) üçgeninde
hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs
|BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait yüksekligin dört
katidir. |
 |
| Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekligin verildigi durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bagintilari kullanilir. |
 |
1. Yüksekligin hipotenüste ayirdigi parçalarin çarpimi yüksekligin karesine esittir.
3. ABC üçgeninin alanini iki farkli sekilde yazip esitledigimizde
- Yukarida anlatilan öklit bagintilari kullanilarak
elde edilir.
Genellikle bu öklit bagintisini kullanmak yerine, yukaridaki öklit bagintilari ve pisagor bagintisini kullanarak çözüme gideriz.
| Ikizkenar üçgenin tepe açisindan tabanina çizilen yükseklik, hem açiortay, hem de kenarortaydir. |
 |
| 1. Bir üçgende, açiortay ayni zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|
|BH| = |HC|
m(B) = m(C) |
 |
| 2. Bir üçgende, açiortay ayni zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|,
[AH] ^ [BC]
m(B) = m(C) |
 |
| 3. Bir üçgende, yükseklik ayni zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|
m(BAH) = m(HAC)
m(B) = m(C) |
 |
| Ikizkenar üçgende açiortay, kenarortay ve yüksekligin ayni olmasi birçok yerde karsimiza çiktigindan çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir. |
| 4. Ikizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler esittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasinin ayirdigi parçalarda esit olur. |
 |
| 5. Ikizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortaylarin kesim noktasinin ayirdigi parçalar da birbirine esittir. |
 |
| 6. Ikizkenar üçgende esit açilara ait açiortaylar da esittir. Açiortaylar birbirini ayni oranda bölerler. |
 |
| 7. Ikizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplami, ikizkenarlara ait yüksekligi verir.
| |AB| = |AC| ? |LC| = |HP| + |KP| |
|
 |
| 8. Ikizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplami, ikiz kenarlarin uzunluguna esittir.
|
 |
ESKENAR ÜÇGEN
| 1. Eskenar üçgende bütün açiortay, kenarortay yükseklikler çakisik ve hepsinin uzunluklari esittir.
nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc |
 |
| 2. Eskenar üçgenin bir kenarina a dersek yük seklik
 Bu durumda eskenar üçgenin alani
|
 |
yükseklik cinsinden alan degeri
Alan(ABC) = 
| 3. Eskenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunluklarin toplami, eskenar üçgene ait yüksekligi verir.
Bir kenari a olan eskenar üçgende;
|
 |
| 4. Eskenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplami bir kenar uzunluguna esittir. |
 |
Bir kenari a olan ABC eskenar üçgeninde
| Bir açisinin ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karsisindaki kenara hipotenüs, diger kenarlara dik kenar adi verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenaridir.
sekilde, m(A) = 90°
[BC] kenari hipotenüs
[AB] ve [AC] kenarlari
dik kenarlardir. |
|
| Dik üçgende dik kenarlarin uzunluklarinin kareleri toplami hipotenüsün uzunlugunun karesine esittir.
ABC üçgeninde m(A) = 90°
|
|
1. (3 - 4 - 5) Üçgeni
Kenar uzunluklari (3 - 4 - 5) sayilari veya bunlarin kati olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), ? gibi |
|
2. (5 - 12 - 13) Üçgeni
Kenar uzunluklari (5 - 12 - 13) sayilari ve bunlarin kati olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir. (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), ? gibi. |
|
| Kenar uzunluklari 8, 15, 17 sayilari ile orantili olan üçgenler dik üçgenlerdir. |
|
| Kenar uzunluklari 7, 24, 25 sayilari ile orantili olan üçgenler dik üçgenlerdir. |
|
3. Ikizkenar dik üçgen
ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = aÖ2
m(A) = m(C) = 45° Ikizkenar dik üçgende
hipotenüs dik kenarlarin Ö2 katidir. |
|
4. (30° ? 60° ? 90°) Üçgeni
ABC eskenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündügünde
ABH ve ACH (30° - 60° - 90°)
üçgenleri elde edilir.
|AB| = |AC| = a
| |BH| = |HC| = |
|
| pisagordan |
|
|
|
| (30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karsisindaki kenar
hipotenüsün yarisina esittir. 60° nin karsisindaki kenar,
30° nin karsisindaki kenarin Ö3 katidir. |
|
| 5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni
(30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açilarin karsilarindaki kenarlara a dersek 120° lik açinin karsisindaki kenar aÖ3 olur. |
|
| 6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni
(15° - 75° - 90°) üçgeninde
hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs
|BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait yüksekligin dört
katidir. |
|
| Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekligin verildigi durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bagintilari kullanilir. |
|
1. Yüksekligin hipotenüste ayirdigi parçalarin çarpimi yüksekligin karesine esittir.
3. ABC üçgeninin alanini iki farkli sekilde yazip esitledigimizde
- Yukarida anlatilan öklit bagintilari kullanilarak elde edilir.
Genellikle bu öklit bagintisini kullanmak yerine, yukaridaki öklit bagintilari ve pisagor bagintisini kullanarak çözüme gideriz.
| Ikizkenar üçgenin tepe açisindan tabanina çizilen yükseklik, hem açiortay, hem de kenarortaydir. |
|
| 1. Bir üçgende, açiortay ayni zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|
|BH| = |HC|
m(B) = m(C) |
|
| 2. Bir üçgende, açiortay ayni zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|,
[AH] ^ [BC]
m(B) = m(C) |
|
| 3. Bir üçgende, yükseklik ayni zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|
m(BAH) = m(HAC)
m(B) = m(C) |
|
| Ikizkenar üçgende açiortay, kenarortay ve yüksekligin ayni olmasi birçok yerde karsimiza çiktigindan çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir. |
| 4. Ikizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler esittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasinin ayirdigi parçalarda esit olur. |
|
| 5. Ikizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortaylarin kesim noktasinin ayirdigi parçalar da birbirine esittir. |
|
| 6. Ikizkenar üçgende esit açilara ait açiortaylar da esittir. Açiortaylar birbirini ayni oranda bölerler. |
|
| 7. Ikizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplami, ikizkenarlara ait yüksekligi verir.
| |AB| = |AC| ? |LC| = |HP| + |KP| |
|
|
| 8. Ikizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplami, ikiz kenarlarin uzunluguna esittir.
|
|
ESKENAR ÜÇGEN
| 1. Eskenar üçgende bütün açiortay, kenarortay yükseklikler çakisik ve hepsinin uzunluklari esittir.
nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc |
|
| 2. Eskenar üçgenin bir kenarina a dersek yük seklik
Bu durumda eskenar üçgenin alani
|
|
yükseklik cinsinden alan degeri
Alan(ABC) =
| 3. Eskenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunluklarin toplami, eskenar üçgene ait yüksekligi verir.
Bir kenari a olan eskenar üçgende;
|
|
| 4. Eskenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplami bir kenar uzunluguna esittir. |
|
Bir kenari a olan ABC eskenar üçgeninde