NOKTANIN ANALITIK INCELEMESI 

1. Analitik Düzlem
Bir düzlemde dik kesisen iki sayi dogrusunun olusturdugu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandirilir.
Dik koordinat sistemi

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düsey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
Eksenlerin kesistigi noktaya orijin denir.

Analitik düzlemde her noktaya bir (x, y) sayi ikilisi karsilik gelir. Bu sayi ikilisine noktanin koordinatlari denir.

P(x, y) noktasi için, x noktanin apsisi, y de ordinatidir. Apsis ve ordinat degerleri eksenlere çizilen dik dogrularin eksenleri kestigi noktalardir.

Orijinin koordinatlari O(0,0) dir.
x ekseni üzerindeki noktalarin ordinati sifirdir. A(a, o) noktasi gibi. y ekseni üzerindeki noktalarin ise apsisi sifirdir. B(o, b) noktasi gibi.

Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayirirlar. I. Bölge: x > 0              y > 0 II. Bölge: x < 0               y > 0 III. Bölge: x < 0                y < 0 IV. Bölge: x > 0                y < 0

2. Iki nokta arasindaki uzaklik
a. Apsisleri veya ordinatlari esit olan noktalar arasindaki uzaklik.

Apsisleri esit olan iki nokta arasindaki uzaklik, bu iki noktanin ordinatlari farkinin mutlak degeridir. A(a, c) ve B(a, b) noktalari için |AB| = |c ? b|

Ordinatlari esit olan iki nokta arasindaki uzaklik, bu iki noktanin apsisleri farkinin mutlak degeridir. A(b, a) ve B(c, a) noktalari için |AB| = |c ? b|

b. Apsisleri ve ordinatlari farkli noktalar arasindaki uzaklik

Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktalari arasindaki uzaklik |AB| biçiminde gösterilir.
A ve B noktalarinin analitik düzlemdeki yerleri belirtildiginde AKB dik üçgeni meydana gelir.
AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür. [AK] dik kenar uzunlugu iki noktanin apsisleri farki (x2 ? x1) ve [BK] dik kenar uzunlugu iki noktanin ordinatlari farki (y2 ? y1) dir.
Pisagor teoreminden iki nokta arasi uzaklik;

esitligi ile bulunabilir.
Burada x1 ile x2 nin ve y1 ile y2 nin yer degistirmesi sonucu degistirmez.

•  Iki nokta arasi uzaklik bulunurken dik üçgenden de yararlanilabilir.

Iki noktanin ordinatlari farki dik üçgenin bir kenari, apsisleri farki ise diger dik kenaridir. Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arasi uzakligi verir.

c. Bir noktanin orijine uzakligi P(a,b) noktasinin orijine uzakligi

3.Orta Nokta Koordinatlari

Yukaridaki sekilde A(x1, y1) noktasi ile B(x2, y2) noktasi veriliyor. [AB] dogru parçasinin ortasindaki nokta K(x0, y0) noktasi ise

• Kösegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare,dikdörtgen, paralelkenar, eskenar dörtgen) karsilikli köselerin koordinatlari toplamlari esittir.

ABCD paralelkenar oldugundan [AC] nin orta noktasi, [BD] nin de orta noktasidir. Buradan; x1 + x3 = x2 + x4 y1 + y3 = y2 + y4

4.Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatlari

Belli oranda bölen noktayi bulurken; verilen oranlar ile apsisler farki ve ordinatlar farki arasinda benzerlikten kaynaklanan bir esitlik olusur.
A(x1,y1) , B(x2,y2) ve C(x3,y3) noktalari için,

esitligi vardir.

Belli oranda bölen noktayi bulurken yukaridaki esitlikten faydalanarak asagidaki metod kullanilabilir.
m uzunlugunda (x2 ? x1) kadar degisirse
n uzunlugunda (x3 ? x2) kadar degisir.
Degisme miktari artma yada azalma olabilir. Önemli olan noktalarin ayni dogrultuda olmasi ve ayni yönde hareket etmektir. Ayni seyler ordinatlar için de geçerlidir.
m uzunlugunda (y2 ? y1) kadar degisirse
n uzunlugunda (y3 ? y2) kadar degisir.
5. Üçgenin Agirlik Merkezinin Koordinatlari

ABC üçgeninin köse koordinatlari A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ve agirlik merkezi G(xG,yG) ise agirlik merkezi koordinatlari:

Bu esitlikler belli oranda bölen nokta özellikleri kullanilarak elde edilebilir.
6. Köse Noktalarinin Koordinatlari Bilinen Üçgenin Alani
Köse koordinatlari A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan ABC üçgeni veriliyor.

Köse koordinatlari bilinen üçgenin alanini bulmak için yukarida oldugu gibi köse koordinatlari alt alta yazilir. Ilk yazilan en alta ilave edilir ve sekildeki gibi çarpilir. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan degeri bulunur. Alan negatif olamayacagindan, sonuç negatifte çiksa pozitif kabul edilir. (Mutlak degeri alinir.)
Üç kösesinin koordinatlari bilinen bir üçgenin alani, üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir.

• Köse koordinatlarindan herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatlari esit ise üçgenin kenarlarindan biri eksenlere paralel olur. Bu durumda üçgenin alani çizilerek de bulunabilir.
• Bir üçgenin alaninin sifir çikmasi, köse koordinatlari olarak verilen üç noktanin dogrusal üç nokta oldugunu gösterir.