MUTLAK DEĞER
A. TANIM
Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.
|x| biçiminde gösterilir.
Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ³ 0 dır. |
B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ
-
|x| = |?x| ve |a ? b| = |b ? a| dır.
-
|x × y| = |x| × |y|
-
|xn| = |x|n
-
y ¹ 0 olmak üzere,
-
|x| ? |y| £ |x + y| £ |x| + |y|
-
a ³ 0 ve x Î 
olmak üzere,
|x| = a ise, x = a veya x = ?a dır.
-
|x| = |y| ise, x = y veya x = ?y dir.
-
x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
|x ? a| + |x ? b|
ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.
-
x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve
K = |x ? a| ? |x ? b|
olmak üzere,
x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük değeri bulunur.
-
a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,
a) |x| < a ise, ?a < x < a dır.
b) |x| £ a ise, ?a £ x £ a dır.
-
a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,
a) |x| > a ise, x < ?a veya x > a dır.
b) |x| ³ a ise, x £ ?a veya x ³ a dır.
|x + a| + |x + b| = c
eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.
1. Yöntem
Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.
x + a = 0 ise, x = ?a dır.
x + b = 0 ise, x = ?b dir.
Buna göre, üç durum vardır. (?b < ?a olsun.)
?b £ x, ?b < x £ ?a ve x > ?a dır. Bu üç durumda inceleme yapılır.
1. Durum
?b £ x ise, ?x ? a ? x ? b = c olur. Bu denklemin kökü ?b £ x koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.
2. Durum
?b < x £ ?a ise, ?x ? a + x + b = c olur.
Bu denklemin kökü ?b < x £ ?a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.
3. Durum
x > ?a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > ?a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.
3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen denklemin çözüm kümesidir.
2. Yöntem
a < b ve c Î 
olmak üzere,
|x + a| + |x + b| = c ... (¶)
eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.
(x + a = 0 ise, x = ?a) ve (x + b = 0 ise, x = ?b)
-
Sayı doğrusunda ?b ile ?a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,
(¶) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç = [?b, ?a] dır.
-
Sayı doğrusunda ?b ile ?a arasındaki uzaklık c den büyük ise,
(¶) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç = Æ dir.
-
Sayı doğrusunda ?b ile ?a arasındaki uzaklık c den küçük ise,
(¶) daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c den, sayı doğrusunda ?b ile ?a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, (¶) daki denklemi sağlayan sayılardan biri ?b ? D diğeri ?a + D dir. Bu durumda (¶) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç {?b ? D, ?a + D} olur.