İŞLEM
A. TANIM
Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanimlanan her fonksiyona birli islem denir.
A Ì B olmak üzere, A ´ A kümesinden B kümesine tanimlanan her fonksiyona ikili islem veya kisaca islem denir.
Islemler; gibi simgelerle gösterilir.
B. ISLEMIN ÖZELIKLERI
A kümesinde p ve « islemleri tanimlanmis olsun. Buna göre, asagidaki 7 özeligi inceleyelim.
1. Kapalilik Özeligi
" (Her) a, b Î A için a p b nin sonucu A kümesinin bir elemani ise, A kümesi p islemine göre kapalidir.
2. Degisme Özeligi
" (Her) a, b Î A için, a p b = b p a ise, p isleminin degisme özeligi vardir.
3. Birlesme Özeligi
" (Her) a, b, c Î A için a p (b p c) = (a p b) p c ise, p isleminin birlesme özeligi vardir.
4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeligi
" (Her) x Î A için, x p e = e p x = x ise, e ye p isleminin etkisiz elemani denir.
e Î A ise, p islemine göre A kümesi birim eleman özeligine sahiptir.
5. Ters Eleman Özeligi
p isleminin etkisiz elemani e olsun.
a Î A için, a p b = b p a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanina p islemine göre a nin tersi denir.
a nin tersi b ise genellikle b = a?1 biçiminde gösterilir.
A kümesinin bütün elemanlarinin p islemine göre, tersleri A nin elemani ise, p islemine göre A kümesi ters eleman özeligine sahiptir.
? Birim elemanin tersi kendisine esittir.
? Tersi kendisine esit olan her eleman birim eleman olmayabilir.
6. Dagilma Özeligi
" a, b, c Î A için,
a « (b p c) = (a « b) p (a « c) ise,
« isleminin p islemi üzerine soldan dagilma özeligi vardir.
(a p b) « c = (a « c) p (b « c) ise,
« isleminin p islemi üzerine sagdan dagilma özeligi vardir.
« isleminin p islemi üzerine; hem soldan, hem de sagdan dagilma özelligi varsa « isleminin p islemi üzerine dagilma özelligi vardir.
7. Yutan Eleman Özeligi
" x Î A için, x p y = y p x = y olacak biçimde bir y varsa y ye p isleminin yutan elemani denir.
y Î A ise, p islemine göre A kümesi yutan eleman özeligine sahiptir.
Yutan elemanin tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman degildir.
C. TABLO ILE TANIMLANMIS ISLEMLER
A = {a, b, c, d} kümesinde islemi yukaridaki tablo ile tanimlanmis olsun.
Ü
b c nin sonucu bulunurken, baslangiç sütununda b, baslangiç satirinda c bulunur. Bunlarin kesistigi bölgedeki eleman, b c nin sonucudur. Buna göre, b c = a dir.
Ü
Baslangiç satirindaki ve baslangiç sütunundaki elemanlarin sonuçlarinin görüldügü kisimda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi islemine göre kapalidir.
Ü
Sonuçlar kismi, kösegene göre simetrik ise, isleminin degisme özeligi vardir.
Ü
Tablonun sonuçlar kisminda, baslangiç sütununun ve baslangiç satirinin görüldügü sütunun ve satirin kesisimindeki eleman etkisiz elemandir. Yukarida tablo ile tanimlanan isleminin etkisiz elemani d dir.
Ü
Yutan eleman hangi elemanla isleme girerse girsin, sonuç kendisine esit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kisminda ayni elemandan olusan satir ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandir.
Yandaki tablo, A = {1, 2, 3} kümesinde tanimlanan islemine göre düzenlenmistir.
Buna göre,
isleminin yutan elemani 1 dir.
isleminin birim (etkisiz) elemani 2 dir.
D. MATEMATIK SISTEMLER
1. Tanim
A, bos olmayan bir küme olmak üzere, « islemi A da tanimli olsun.
(A, «) ikilisine matematik sistem denir.
2. Grup
A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanimli « islemi asagidaki dört kosulu sagliyorsa, A kümesi « islemine göre bir gruptur.
1.
A, « islemine göre kapalidir.
2.
A üzerinde « isleminin birlesme özelligi vardir.
3.
A üzerinde « isleminin birim (etkisiz) elemani vardir.
4.
A üzerinde « islemine göre her elemanin tersi vardir.
A üzerinde tanimli « isleminin degisme özelligi de varsa (A, «) sistemi degismeli gruptur.
3. Halka
A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanimli D ve « islemleri asagidaki üç kosulu sagliyorsa (A, D, «) sistemi bir halkadir.
1.
(A, D) sistemi degismeli gruptur.
2.
A kümesi « islemine göre kapalidir.
3.
« isleminin D islemi üzerinde dagilma özelligi vardir.
Ü
« isleminin degisme özelligi de varsa (A, D, «) sistemi degismeli halkadir.
Ü
« isleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemani da varsa (A, D, «) sistemine birim halka denir.