- Integral Denklemlerin Tarihçesi
Integral denklemler, bilinmeyen fonksiyonun integral isareti altinda bulundugu denklemler olarak tanimlanmakla birlikte, bu tanim yetersiz kalmaktadir. Bir baska deyisle, bu tanimdan hareket ederek, integral denklemlerin bütün türlerini kapsayacak teoriyi kurmak olanaksizdir. Bu nedenle, birbirinden ayri nitelikteki integral denklemleri tek tek incelemek gerekmektedir. Böylece genis bir arastirma sahasi açilmis olmakta ve konu bu oranda daginik bir inceleme tarzi göstermektedir.
Integral denklemlerle ilk ugrasilar 19. yüzyilin ilk yarisinda baslamistir. Önceleri daginik ve rastgele arastirmalar yapilmisken, ayni yüzyilin sonlarina dogru daha sistematik ve bilinçli arastirmalarin yapildigi ve bir takim sonuçlarin alinmaya baslandigi izlenmektedir. ABEL 1823 yilinda bir mekanik problemini inceledigi esnada ilk defa integral denkleme rastladigi bilinmektedir. Ancak Integral Denklem deyimini Du Bois REYMOND?un (1888)?de yayinlanan bir çalismasinda önerdigi anlasilmaktadir (Bocher, M., 1913).
Fizik ve mühendislik uygulamalarda zaman zaman bilinmeyen fonksiyonun integral isareti altinda olan denklemlerle karsilasilir. Bu tür denklemlere integral denklemler denir. Genellikle karsilasilan diferansiyel denklemler ise, bilinmeyen fonksiyonun degisik türevlerinden olusurlar. Türev, bir fonksiyonun bir nokta ve hemen yakinindaki degerleri kullanarak bulundugundan, diferansiyel denklemler lokal (yerel) denklemlerdir.
Bilindigi gibi tabiat kanunlari diferansiyel denklemler yardimi ile ifade edilebilirler. Bundan, yakin çevre incelendiginde evrenin tamaminda geçerli tabiat kanunlarinin bulunabilecegi sonucu çikarilabilir. Belki de büyük düsünür Albert Einstein?in ?Bu tabiatin en anlasilmaz yönü anlasilabilir olmasidir? sözünün altinda yatan gerçeklerden bir tanesidir (Bayin, S. S., 2000 s.249).
Integral denklemler ise bütün uzay üzerinden integral alinmasi gerektirdiklerinden global (evrensel) denklemlerdir. Bu da aranan fonksiyonun bir noktadaki degerinin o fonksiyonun bütün uzay üzerinden integralini içeren ifadeler cinsinden bulunmasi demektir. Integral denklemler genel olarak çözülmesi çok daha zor denklemlerdir.
Diferansiyel denklemlerin önemli bir özelligi, tek baslarina bir problemi tanimlamaya yetmemeleridir. Onlara sinir sartlarinin da ilave edilmesi gerekir. Integral denklemler ise, bir problemin tam tanimini verirler. Ilave sartlara ne gerek vardir, ne de kosulabilirler. Ancak, sinir sartlari da uzayin bütününde onlarin ilgilenilen bölgeye etkisinin dolayli yoldan denklemlere dahil edilmesi olarak yorumlanabileceginden, integral denklemler ile diferansiyel denklemler arasinda yakin bir iliski olmasi da dogaldir. Bu çalismada görülebilecegi gibi diferansiyel denklemler temelde integral denklemler olarak da ifade edilebilirler.
Uygulamali bilim dallarinda bazi problemler tek bir denklem ile ifade edilemezler, ancak onun yerine birden çok bilinmeyen fonksiyon içeren diferansiyel, integral veya bunlarin kombinezonundan olusan integrodiferansiyel denklemlerin bir bütünü olarak ifade edilirler. Bu tip diferansiyel denklem sistemleri, bilhassa parçali olanlar, birçok fizik ve mühendislik dalinda ortaya çikmaktadir. Örnegin, diferansiyel denklem sistemleri; Elastikiyet teorisi (Ezechias, J., 1988), Dinamik (Kant, T., Varaiya, J. & Arora, H.C.P., 1990), Akiskanlar mekanigi (Agarwal, R.S. & Bhargava, R., Balaji, A.V.S., 1990), Devre problemleri (Zimmerman, W.R., 1996), Salinim problemleri (Pesterev, A.V., Bergman, L.A., 1997 ; Gürgöze, M., 1992), Kuantum dinamigi (Greenspan, D., 1998) gibi konularda, integral ve integrodiferansiyel denklem sistemleri ise Elektromanyetik teori (Bloom, F., 1980), Termoelastikiyet (Kopeikin, I.D. & Shiskin, V.P., 1984), Biyoloji (Holmaker, K., 1993), Mekanik (Yue, Z.Q. & Selvadurai, A.P.S., 1995, Abadzadeh, F. & Pak, R.Y.S., 1995), Dalgalarin kirinimi (Büyükaksoy, A. & Alkumru, A., 1995) gibi alanlarda ortaya çikmaktadir.
Sistemlerin çözümü için su ana kadar sunulmus genel bir yöntem yoktur. Sabit katsayili diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü bulunabilmekte; fakat degisken katsayili diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü ile ilgili literatürde pek fazla çalisma yoktur. Bu nedenle fizik ve mühendislik alanlarinda önemli bir yeri olan bu tip sistemlerin yaklasik çözümlerinin bulunmasinin faydali olacagi düsünülmüstür.
Iki ve daha yüksek mertebede degisken katsayili diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerini bulmak oldukça güçtür. Bu yüzden yaklasik çözümlere gerek duyulmaktadir. Çogu zaman bu tip denklemler normal formdaki diferansiyel denklem sistemlerine dönüstürülerek çözümleri arastirilmistir. Bu nedenle sistemler konusunda yapilan çalismalarin hemen hemen hepsi birinci mertebeden sistemlere iliskindir. Bunlarin çözümü için Euler, Runge-Kutta yöntemi gibi birkaç standart yöntem mevcuttur. Ancak yüksek mertebeden diferansiyel denklem sistemleri ile ilgili çözüm yöntemleri mevcut degildir. Bu tür sistemler için yapilan arastirmalarda sadece birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemleri için sayisal yöntemlerden bahsedilmistir.
Bu tez çalismasindaki amaç, daha önce Volterra ve Fredholm integral denklemler için verilen Taylor polinom yöntemini (Sezer, M., 1992 ; Sezer, M., 1994) lineer degisken katsayili diferansiyel denklem sistemlerinin yaklasik çözümleri için gelistirmek, uygulamak ve önemli özelliklerini ortaya çikarmaktir. Yöntem; sistemleri bir matris denkleme dönüstürmeye dayanmaktadir. Bu matris denklem bilinmeyen Taylor katsayilarindan olusan bir lineer cebirsel sisteme karsilik gelir. Böylece cebirsel sistemin çözümünden bulunan Taylor katsayilari kullanilarak verilen diferansiyel denklem sisteminin sonlu Taylor seri formunda yaklasik çözümü elde edilmektedir.
- Integral Denklemlerin Siniflandirilmasi
Integral denklemler farkli özelliklerine göre asagidaki gibi siniflandirilabilir.
- Lineer ve Lineer Olmayan Integral Denklemler
Integral denklemler temel kavramlar açisindan öncelikle, lineer ve lineer olmayan integral denklemler olarak iki büyük sinifa ayrilir.
u(x) bilinmeyen fonksiyon olmak üzere,
(1.2.1)
yapisinda bir integral denklemde, u(x) fonksiyonunun lineer olmasi halinde integral denklem de lineer integral denklem adini almaktadir.
(1.2.2)
integral denkleminde ise u(x) bilinmeyen fonksiyonun n. kuvveti bulundugundan lineer olmayan bir integral denklem olmaktadir. Bunun gibi, daha genel olarak,
(1.2.3)
integral denklemi de lineer olmayan integral denklem olmaktadir. Bunlarin disinda birden çok sayida degiskeni bulunan,
(1.2.4)
seklindeki integral denklemlerin de lineer olani veya lineer olmayani bulunmaktadir. Bu çalismada genellikle lineer integral denklemler incelenecektir. Ele alinacak bir integral denklemin öncelikle lineer olup olmadiginin saptanmasinda yarar vardir (Aksoy, Y., 1983 s.1).
- Tekil ve Tekil Olmayan Lineer Integral Denklemler
Integral denklemlerin siniflandirilmasinda K(x,t) fonksiyonunun sürekliligi önemlidir. K(x,t) fonksiyonuna çekirdek fonksiyon denir. K(x,t) fonksiyonu 
araliginda sürekli ise integral denklem Tekil (Singüler) olmayan bir integral denklemdir. Eger K(x,t) bu aralikta sürekli degilse integral denklem Tekil (Singüler) integral denklem sinifina girmektedir.
Örnegin 
olmak üzere,
(1.2.5)
seklindeki bir integral denklem Tekil integral denklem sinifina girmektedir. Ayrica, integral sinirlarindan en az birinin sonsuz olmasi halinde de denklem, tekil integral denklem sinifinda olacaktir.
(1.2.6)
ve
(1.2.7)
denklemleri bu türe birer örnek teskil etmektedir. Bunlarin ilkinde, denklemin ikinci yani ile tanimlanan f(x) fonksiyonu, u(x)?in Fourier Sinüs Transformasyonu, ikincisinde ise u(x)?in Laplace Transformasyonu olarak kullanilir (Aksoy, Y., 1983 s.2).
- Integral Denklemlerin Yapilarina Göre Siniflandirilmasi
Integral denklemler, yapilarina göre üç sinifa ayrilir. Bilinmeyen fonksiyon u(x), çekirdek fonksiyon K(x,t) olmak üzere,
(1.2.8)
seklindeki bir integral denkleme I. cins integral denklem denir. Bilinmeyen fonksiyon sadece integral içinde mevcuttur. Burada f(x) fonksiyonu bilinen bir fonksiyondur. Benzer sekilde,
(1.2.9)
seklindeki bir integral denklem de yine I. cins integral denklemdir. Burada da f(x) ve f(x) bilinen fonksiyonlardir. Ancak bu denklemler,
olmak üzere
(1.2.10)
seklinde ifade edilerek (1.2.8) yapisinda yazilabilir.
(1.2.11)
ve
(1.2.12)
gibi denklemler, I. cins integral denklemlere birer örnektir.
(1.2.13)
veya
(1.2.14)
seklindeki integral denklemler ise II. cins integral denklemler sinifina girmektedir. Görüldügü gibi, bilinmeyen u(x) fonksiyonu integralin hem içinde hem de disinda bulunmaktadir.
(1.2.15)
ve
(1.2.16)
bu tür denklemlere birer örnektir.
Bu iki cins integral denklemden baska f(x), f(x) ve K(x,t) fonksiyonlari bilinen,
(1.2.17)
seklindeki integral denklemlere ise III. cins integral denklemler denilir.
Örnegin,
(1.2.18)
denklemi III. cins bir integral denklemdir.
Özel olarak 
ise (1.2.17) denklemi I. cins bir integral denkleme, 
ise ayni denklem II. cins bir integral denkleme dönüsmektedir. Buradan I. ve II. cins integral denklemlerin, III. cins integral denklemlerin birer özel hali oldugu görülmektedir (Aksoy, Y., 1983 s.3).
- Homojen ve Homojen Olmayan Integral Denklemler
Integral denklemler bir de bilinmeyen u(x) fonksiyonunun homojen olup olmadigina göre siniflandirilabilir. II. cins integral denklemler için söz konusu böyle bir siniflandirma (1.2.13) ile verilen,
(1.2.19)
integral denklemi için yapilirsa, (1.2.19) denklemi homojen integral denklem olarak adlandirilir. Homojenligi bozan bir f(x) fonksiyonu içeren (1.2.14) formundaki,
gibi denklemlere ise homojen olmayan integral denklemler denir.
homojen olmayan integral denkleminin kolayca görülebildigi gibi 
olan bir çözümü vardir. Buna asikar çözüm veya trivial çözüm denir. Ancak bunun disinda çözümlerinin bulunup bulunmadiginin veya hangi kosullar altinda çözümün olabileceginin arastirilmasi basli basina bir konudur. Homojen integral denklemler daha genel bir yapiya sahip
seklindeki bir integral denklemin f(x)=0 olmasi haline uyan özel bir durumu olarak göz önüne alinabilir (Aksoy, Y., 1983 s.4).
- Volterra ve Fredholm Integral Denklemleri
Integral denklemler integral sinirlarinin degisken veya sabit olmasina göre de siniflandirilirlar. Lineer ve homojen olup olmadiklarina bakmasizin,
gibi denklemlere Volterra Integral Denklemleri denilmektedir (Aksoy, Y., 1983 s.5). Bu tür denklemlerde, integral isaretinin üst sinirinda (veya sinirlarindan birinde) x degiskeni bulunmaktadir. x degiskeninin x=b gibi sabit bir degere esit olmasi halinde yazilabilecek,
seklindeki denklemlere ise Fredholm Integral Denklemleri denilmektedir (Aksoy, Y., 1983 s.5). Volterra ve Fredholm integral denklemleri arasindaki tek fark bu sinir yapisinda ortaya çikmaktadir. Ancak bu iki denklem türünün incelenmesi, zaman zaman iç içe girmis bir görünüm verebilmektedir.
- Integral Denklemlerle Diferansiyel Denklemler Arasindaki Iliskiler
Baslangiç kosullariyla verilen, degisken veya sabit katsayili bir diferansiyel denklem, Volterra tipindeki bir integral denkleme dönüstürebildigi gibi, bir integral denklem de diferansiyel denkleme dönüstürülebilir. Dolayisiyla, bir integral denklem baslangiç kosullari için saglanan diferansiyel denklemin bir sinir deger problemi olarak da göz önüne alinabilir.
1.3.1. Diferansiyel Denklemin Integral Denkleme Dönüstürülmesi
(1.3.1)
lineer diferansiyel denklemi göz önüne alinsin. Ayrica sayilari n tane olan,
(1.3.2)
baslangiç kosullarinin da verildigi kabul edilsin. (1.3.1) denklemine
(1.3.3)
dönüsümü uygulanirsa, bu ifade
seklinde hesaplanarak, türev mertebesi bir mertebe düsürülmüs olur. Benzer sekilde hareket edilerek,
elde edilir ve böyle devam edilirse,
olur. Bir kere daha integral alinirsa,
bulunur. Burada da görüldügü gibi sik sik çok katli integrallerle islem yapmak zorunda kalinacaktir. Bunu kisaca göstermek için,
seklindeki notasyonun kullanilmasi uygun bulunmustur. Integraller arasindaki (n) katlilik mertebesini göstermektedir.
Probleme tekrar dönülür ve yukarida bulunan ifadeler (1.3.1)?de yerine yazilirsa,
elde edilir. Bu ifadeyi de
seklinde düzenlersek, esitligin sag tarafi x?in bir fonksiyonu olup bu F(x) ile gösterilebilir. Burada,
seklinde göstermek suretiyle,
oldugu görülür. Esitligin sol tarafi ise,
(1.3.4)
ifadesi yardimiyla tek katli integral olarak ifade edilebilir (Aksoy, Y., 1983 s.13).
Teorem 1.3.1. 1.3.4 ile verilen
seklindeki baginti asagidaki gibi ispatlanabilir. Bu baginti yardimiyla çok katli bir integral, tek katli bir integral olarak ifade edilmektedir.
Ispat: (1.3.4) bagintisi asagidaki gibi düzenlenip, sag tarafi 
ile gösterilsin ve bu ifade daha genel incelenmis olmasi için alt siniri da a olarak alsin.
(1.3.5)
olsun. Burada n pozitif bir tam sayi, a bir sabittir.
(1.3.12) ile verilen ve integral isareti altinda türev almaya yarayan Leibnitz Formülünden yararlanarak
alinirsa, türev alindiginda,
bulunur. Böylece n > 1 için,
(1.3.6)
olur. Özel olarak n=1 ise, (1.3.5)?den
(1.3.7)
bulunur. (1.3.6)?dan türev almaya devam edilirse,
ve nihayet n. mertebeden türev için
(1.3.9)
bulunur. Bunun böyle oldugu (1.3.7)?den kolayca görülür. 
iken 
olduguna dikkat edilirse, (1.3.8) bagintisindan, 
?in ve onun ilk (n-1) adet türevinin x=a için saglandigi sonucuna varilabilir. 
oldugu (1.3.5) bagintisindan kolayca görülür.
Simdi, yukaridaki bagintilardan, geriye dogru hareket edilerek, integral islemleri yapilirsa (1.3.7)?den
elde edilir. Keza
yazilabilecektir. Burada 
birer parametredir. Islemlere bu sekilde devam edilirse,
bulunur. Ifadeyi düzenlemek için, her iki tarafi (n-1)! bölüp, 
yerine (1.3.5) bagintisindaki esiti yazilirsa,
ve burada 
kabul edilirse, gösterilmek istenilen,
bagintisi bulunmus olur.
Buna göre,
(1.3.10)
ifadesi (1.3.4) yardimiyla,
seklindeki ifade elde edilecektir. Bu ise belirli integral özelliklerinden faydalanilarak,
olarak yazilabilir. Burada köseli parantez içindeki ifade K(x,t) fonksiyonu olarak göz önüne alinirsa,
olur. Bu çekirdek fonksiyon olup, yerine yazildiginda,
seklindeki II. cins Volterra integral denklemi elde edilir. Böylece (1.3.3) ile verilen diferansiyel denklemi bir integral denkleme dönüsmüs olur.
Örnek 1.3.1.
(1.3.11)
baslangiç kosullariyla verilen diferansiyel denklemi asagidaki gibi bir integral denkleme dönüsür.
Çözüm:
denirse, buna göre bu ifade
seklinde yazabilir. Bu ifadenin her iki tarafi 0 ?dan x?e belirli integrali alinirsa,
ifadesi bulunur. Buradan da bu ifadenin tekrar belirli integralini alirsak,
bulunur. Diger taraftan (1.3.4) bagintisi geregince 
yazilabileceginden bulunan 
ifadelerini (1.3.11)?de yerine yazilirsa,
bulunur. Bu ifade de,
seklinde düzenlenir ve
ile gösterilirse, (1.3.11) diferansiyel denklemi,
seklinde bir Volterra integral denklemine dönüstügü görülür.
Örnek 1.3.2. Asagida verilen diferansiyel denklem ve sinir sartlari ele alinsin.
(1.3.4) formülü kullanilarak bu sistem
integral denklemine dönüsür.
Örnek 1.3.3. Bu seferde
diferansiyel denklemi ve sinir sartlari ele alinsin. Bu denklemin 
araliginda integrali alinirsa
bulunur. Burada c bir integral sabiti olup 
degerini gösterir. Ikinci bir integral alma islemi
ifadesini verir, dikkat edilirse 
sartinin kullanildigi görülmektedir. c degeri ise ikinci sinir sartini saglayacak sekilde belirlenmesi gerektiginden
ifadesi elde edilir. Sonuç olarak da
veya
seklinde ifade edilir. Bu denklemde,
seklinde yazilirsa
olur. Bu da II. cins Fredholm integral denklemidir.
- Integral Denklemin Diferansiyel Denkleme Dönüstürülmesi
Yukarida sözü edildigi gibi bir integral denklemin bir diferansiyel denkleme dönüstürülmesi de olanaklidir. Bunun için Leibnitz Formülü?nün uygulanmasi yeterlidir. Bu formül, integral isareti altinda türev alma islemini gerçeklestirir.
Leibnitz formülü,
(1.3.12)
olup, burada A(x) ve B(x) ?in sabitler olmasi halinde,
olacagindan formül,
olarak kullanilir (Aksoy, Y., 1983 s.21).
Örnek 1.3.4.
(1.3.13)
integral denklemi verilsin, baslangiç kosulunun x=0 için u(x)=0 oldugu bilindigine göre bu integral denklem bir diferansiyel denkleme asagidaki gibi dönüstürülür.
Çözüm : Her iki tarafin türevi alinirsa,
elde edilir. Bu ifadeye Leibnitz Formülü uygulandiginda,
bulunacagindan (1.3.13) integral denkleminin,
seklindeki birinci mertebeden bir lineer diferansiyel denkleme dönüstügü görülür.
1.4. Integral Denklemlerin Yaklasik Çözümleri
- Fredholm Integral Denklemlerin Taylor Serisi Yardimiyla Yaklasik Çözümü
Bu kisimda, Taylor seri çözümlerine sahip bazi Fredholm integral denklemler incelenmistir. Bu denklemlerin çözümü için kullanilan yöntem, R. P. Kanwal ve
K. C. Liu tarafindan sunulan yöntemin bir genellemesidir. Bu yöntemle ilk olarak integral denklemin her iki tarafinin n kez türevi alinir ve sonra sonuç denkleminde bilinmeyen fonksiyonun Taylor seri açilimi yerine konulur. Burada lineer cebrik sistem uygun bir yerde kesilerek yaklasik bir çözüm bulunur. Elde edilen çözüm, bir Taylor seri yaklasimi olup bu Taylor seri açiliminin katsayilari bir lineer cebrik sistemin çözümleridir. Katsayilar çekirdege bagli matris denklemi yardimiyla hesaplanir. Yöntem, bazi lineer Fredholm integral denklemlere uygulanarak asagidaki gibi açiklanabilir.
Bu kisimda, I. ve II. cins lineer Fredholm integral denklemlerinin yaklasik çözümleri incelenmistir. Bu denklemler,
(1.4.1)
ve
(1.4.2)
seklinde tanimlanabilir. Bu denklemlerdeki a ve b sabitleri 
, integralin sinirlaridir. Her iki denklemde de y bilinmeyen bir fonksiyon , f(x) ve K(x,t) bilinen fonksiyonlardir. 
reel veya kompleks bir parametredir. Eger çekirdek fonksiyonlar K(x,t)=K(t,x) seklinde birbirine esit ise simetriktir.
Bununla beraber, (1.4.1) ve (1.4.2) denklemlerindeki a ve b integral sinirlarindan biri veya her ikisi sonsuz, ya da K(x,t) çekirdek fonksiyonu verilen aralikta sürekli degilse integral denklem Tekildir (Singülerdir). Eger (1.4.2) denkleminde f(x)=0 ise integral denklem homojendir.
(1.4.2) ile verilen Fredholm integral denklemini göz önüne alinsin ve
(1.4.3)
formunda bir Taylor seri çözümünü aransin. (1.4.2) denkleminin x?e göre n defa türevi alinip
ve x yerine c degerini konuldugunda,
(1.4.4)
elde edilir. Sonra y(t) t = c?de Taylor serisine açilirsa,
(1.4.5)
elde edilir ve bu (1.4.4)?de yerine konuldugunda,
elde edilir. Bu düzenlendiginde,
,(n,m=0,1,2,...,n) (1.4.6)
elde edilir. (1.4.6)?daki,
(1.4.7)
formundadir. Böylece Taylor katsayilari ile sonsuz (1.4.6) bagintilari bir sonsuz lineer cebrik sistem olustururlar. (1.4.6) sistemi, uygun bir yerde kesilerek yaklasik çözülebilir (n,m=0,1,2,...,N). Bu taktirde, T.Y = F matris denklemi elde edilir.
T.Y=F (1.4.8)
matris denklemindeki matrisler,
seklindedir.
(1.4.1) integral denkleminin çözümü için (1.4.8) matris denklemini kullanilabilir. Bu yüzden T matrisi,
(1.4.9)
olup eger 
ise (1.4.8) denklem,
(1.4.10)
seklinde yazilabilir. (1.4.10) yardimi ile 
bilinmeyen katsayilar belirlenir ve bu degerler (1.4.3) ?de yerine konulursa
(1.4.11)
Taylor seri çözümü elde edilir (Sezer, M., 1992 s.17-24).
Örnek 1.4.1. 
seklindeki homojen olmayan Fredholm integral denkleminin çözümü aransin.
Burada, 
, f(x)=x, a=0, b=1 olup c=0 ve N=2 alinirsa 
degerleri asagidaki gibi hesaplanabilir.
olup
ve
degerleri belirlenir.
Bu degerleri T.Y = F (1.4.8)?de yerine yazilirsa,
veya
matris denklemi elde edilir.
Bu denklem düzenlenirse,
elde edilir. Burada 
ve 
degerleri denklem sisteminde yerine yazilirsa,
olur. Buradan ,
elde edilir. Bu degerler (1.4.11)?de yerine yazilirsa,
elde edilir. Bu elde edilen tam sonuçtur.
1.4.3. Volterra Integral Denklemlerin Taylor Serisi Yardimiyla Yaklasik
Çözümü
Bu kisimda da, Volterra integral denklemler için ayni Taylor seri çözüm yöntemi incelenmistir.
(1.4.12)
Volterra integral denklemini göz önüne alinsin.
(1.4.13)
seklindeki x=c noktasinda ki Taylor serisi çözümünü aransin.
1.4.4. Materyal ve Metot
(1.4.12) denkleminin (1.4.13) seklinde bir çözümünü elde etmek için ilk olarak
x ?e göre n defa türev alinirsa,
(1.4.14)
olur. Buradaki,
(1.4.15)
dir. n=0 için,
olur. n defa integralin diferansiyeli ile ilgili Leibnitz kurali I(x) integraline uygulanirsa, 
için
(1.4.16)
ifadesi elde edilir. Buradaki,
(1.4.17)
dir. Fonksiyonlarin çarpiminin diferansiyeli ile ilgili Leibnitz kuralindan 
?i hesaplanip (1.4.16) denkleminde yerine konursa, böylece (1.4.15) denklemi,
(1.4.18)
elde edilir. (1.4.18) denkleminde,
olduguna dikkat edilmelidir.
Ilk olarak (1.4.14) denkleminde x=0 yazilip sonra buradan (1.4.18) denkleminde ve sonra t=c noktasindaki y(t) Taylor açilimi yani,
ifadesi yerine yazilirsa
veya kisaca
(1.4.19)
elde edilir. (1.4.19)?daki
(1.4.20)
ve
(1.4.21)
seklinde tanimlanirlar.
(1.4.19)?da n=0 için
olur. (1.4.20)?de 
elde edilir.
(1.4.18) bagintisindan sonsuz lineer denklem elde edilir. y(x)?in N.dereceden bir Taylor polinomuna yaklastigi kabul edilirse, n,m=0,1,2,...,N koyulabilir. Sonra (1.4.18) denklemi bilinmeyen 
katsayilari için (N+1) bilinmeyenli, (N+1) denklemden olusan bir lineer denklem sistemi ortaya çikar. Bu sistem standart metotlarla nümerik olarak çözülebilir ya da bu sistem,
(1.4.22)
seklindeki matris denklemi haline getirilir ve 
ise (1.4.21) matris denklem
(1.4.23)
seklinde yazilir.
(1.4.22)?deki T, Y ve F matrisleri,
seklindedirler. Böylece 
katsayilari (1.4.23) denklemiyle tek bir sekilde belirlenir. Bu yüzden (1.4.12) integral denkleminin çözümü tektir. Bu çözüm,
(1.4.24)
Taylor polinomudur.
(1.4.21) integralinin degerini hesaplamak genelde zordur. Bu yüzden c=a seçilmesi uygun olur. Böylece,
degerleri (1.4.19) denkleminin bir rekürans bagintisina indirgenir ve asagidaki gibi kolayca hesaplanir.
(1.4.25)
Bu bagintidan bilinmeyen katsayilar kolayca art arda hesaplanir. Ek olarak 
oldugunda Taylor seri çözümü elde edilir (Sezer, M., 1994 s.625-633).
Örnek 1.4.2.
(1.4.26)
lineer Volterra integral denkleminin 5. dereceden bir Taylor polinomu ile y
?in yaklasik bir fonksiyonu bulunmak istensin. Burada,
seçilirse, ilk olarak 
ve 
degerleri
, (n,m=0,1,...,5)
ifadeleri yardimi ile
(1.4.27)
ve
, (n,m=0,1, ... ,5) (1.4.28)
olarak bulunur.
Sonra 
fonksiyonu ve türevlerinden, 
(1.4.29)
degerleri elde edilir.
Daha sonra (1.4.27), (1.4.28), (1.4.29) degerleri (1.4.22) matris denkleminde yerine konulursa,
matris denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlenirse,
olur. Buradan da
degerleri elde edilir. Bu degerler (1.4.24) denkleminde yerine yazilirsa,
bulunur. Burada l=1 ve yeterince büyük bir n alindiginda tam çözüm olan 
?in elde edilecegi görülmektedir. Ayni sonuçlar, (1.4.25) bagintisi ile de kolayca bulunur.