FONKSİYON

 

A. TANIM

A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bagintisi verilmis olsun.
A nin her elemani B nin elemanlariyla en az bir kez ve en çok bir kez esleniyorsa bu bagintiya fonksiyon denir.

"x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanim kümesi, B ye de deger kümesi denir.

Yukarida A dan B ye tanimlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}

biçiminde de gösterilir.

Ü

Her fonksiyon bir bagintidir. Fakat her baginti fonksiyon olmayabilir.

Ü

Görüntü kümesi deger kümesinin alt kümesidir.

Ü

s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

  i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanimlanabilir.

 ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanimlanabilir.

iii) A dan B ye tanimlanabilen fonksiyon olmayan bagintilarin sayisi 2m × n ? nm dir.

Ü

Grafigi verilen bir bagintinin fonksiyon olup olmadigini anlamak için, y eksenine paralel dogrular çizilir. Bu dogrular fonksiyonun belirttigi egride en az bir ve en çok bir noktayi kesiyorsa verilen baginti x ten y ye bir fonksiyondur.

 

 

B. FONKSIYONLARDA ISLEMLER

A Ç B ¹ Æ olmak üzere,

fonksiyonlari tanimlansin.

   1.

      (f + g) : A Ç B ® , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2.

      (f ? g) : A Ç B ® , (f ? g)(x) = f(x) ? g(x)
3.

      (f × g) : A Ç B ® , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
4.

      "x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,

   5.

      c Î olmak üzere,

      (c × f) : A ® , (c × f)(x) = c × f(x) tir.

 

C. FONKSIYON ÇESITLERI

1. Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farkli elemanlarin görüntüleri de farkliysa fonksiyon bire birdir..

BBuna göre, bire bir fonksiyonda,

"x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.

Diger bir ifadeyle,

"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken

x1 = x2 ise, f  fonksiyonu bire birdir.

Ü

s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,

A dan B ye tanimlanabilecek bire bir fonksiyonlarin sayisi,

 

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi deger kümesine esit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

Ü

f : A ® B

f(A) = B ise, f örtendir.
Ü           

s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanimlanabilen bire bir örten fonksiyonlarin sayisi,

m! = m × (m ? 1) × (m ? 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir.

 

3. Içine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

Ü

Içine fonksiyonun deger kümesinde eslenmemis eleman vardir.

Ü

s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanimlanabilen içine fonksiyonlarin sayisi mm ? m! dir.

 

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemani kendisine esleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

    

ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.

Ü

Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

 

5. Sabit Fonksiyon

Tanim kümesindeki bütün elemanlari deger küme-sindeki bir elemana esleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

Ü

"x Î A ve c Î B için,

      f : A ® B

      f(x) = c

ise, f sabit fonksiyondur.

Ü

s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanimlanabilir.

 

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f(?x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(?x) = ?f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

Ü

Çift fonksiyonlarin grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Ü            Tek fonksiyonlarin grafikleri orijine göre simetriktir.

 

D. ESIT FONKSIYON

       f : A ® B

     g : A ® B

Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna esittir.

 

E. PERMÜTASYON FONKSIYON

       f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

biçiminde gösterilir.

 

 

F. TERS FONKSIYON

f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,

f?1 : B ® A, f?1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

               

(x, y) Î f ise, (y, x) Î f?1 oldugu için,

y = f(x) ise, x = f?1(y) dir.

Ayrica, (f?1)?1 = f dir.

(f?1)?1 = f dir. Ancak, (f?1(x))?1 ¹ f(x) tir.

 

f fonksiyonu bire bir ve örten degilse, f?1 fonksiyon degildir.

 

f : A ® B ise, f?1 : B ® A oldugu için, f nin tanim kümesi, f?1 in deger kümesidir. f nin deger kümesi de, f?1 in tanim kümesidir.

 

f(a) = b ise, f?1(b) = a dir.

f?1(b) = a ise, f(a) = b dir.

 

 

Ü

y = f(x) fonksiyonunun grafigi ile y = f?1(x) in grafigi
y = x dogrusuna göre birbirinin simetrigidir.

    
Ü           

olmak üzere,

Ü            olmak üzere,

 

 

G. BILESKE FONKSIYON

f : A ® B, g : B ® C fonksiyonlari tanimlansin.

f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarini C kümesinin elemanlarina esleyen fonksiyona g ile f nin bileske fonksiyonu denir.

    

Buna göre,

f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileske fonksiyonu denir ve g bileske f diye okunur.

Ü

(gof)(x) = g[f(x)] tir.

 

Bileske isleminin degisme özeligi yoktur.

Bu durumda, fog ¹ gof dir.

Bazi fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu ?fonksiyonlarda degisme özeligi yoktur.? gerçegini degistirmez.

 

Ü

Fonksiyonlarda bileske isleminin birlesme özeligi vardir.

Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.

Ü

I birim fonksiyon olmak üzere,

foI = Iof = f ve

f?1of = fof?1 = I dir.

Ü

f, g ve h fonksiyonlari bire bir ve örten olmak üzere,

(fog)?1 = g?1of?1 ve

(fogoh)?1 = h?1og?1of?1 dir.

Ü

(fog)(x) = h(x)

ise, f(x) = (hog?1)(x) dir.

ise, g(x) = (f?1oh)(x) tir.

 

?  f?1 (x) = f(x) tir.

?  (fof) (x) = x

?  (fofof) (x) = f(x)

?  (fofofof) (x) = x

...

 

 

H. FONKSIYONUN GRAFIGI

Bir fonksiyonun elemanlarina analitik düzlemde karsilik gelen noktalarin kümesine bu fonksiyonun grafigi denir.

f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}

               

(a, b) Î f

oldugundan

f(a) = b dir.

Ayrica, f?1(b) = a dir.

 

Ü

Yukaridaki y = f(x) fonksiyonunun grafigine göre,

f(?3) = 3, f(?2) = 1, f(?1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,

f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dir.