DETERMINANTLAR
Determinantlar matris teorisinin gelismesinde büyük rol oynadigi muhakkaktir. Determinantlar tekil olmayan matrislerin karakterizasyonunda, ayrica lineer denklem sistemlerinin çözümlerinde ve alt uzaylarin boyutlarini hesaplamada kolayliklar saglar. Ayrica determinantlar, Analizde vektörel çarpimlari, Jacobiyen ve Wronskiyenleri ifade etmekte kullanilir.
Determinantlarin Elemanter Özellikleri
Bu kisimda, bir nxn kare matrisin determinantini tanimlayacagiz ve bu determinantlarin hesaplanmasi için bir yöntem verecegiz. Ilk olarak 2x2 bir matrisin determinantinin tanimini ve özelliklerini veriyoruz.
a11, a12, a21, a22 reel sayilar olmak üzere 2x2 tipinden bir
  

matrisinin determinanti
 

formülü ile tanimlanan bir reel sayidir.
Hemen not edelim ki; determinant her bir 2x2 matrisine bir reel sayi karsilik getiren bir fonksiyondur. Bu fonksiyon, ilk üçü bir 2x2 matrisin üzerinde sati islemlerinin etkin oldugu, asagidaki dört önemli özellige sahiptir:
(i) Eger B matrisi, bir k reel sayisi ile A matrisinin bir satirinin çarpilmasi ile A matrisinden elde edilen bir matris ise, o taktirde
                                                                              dir
(ii) Eger B matrisi, A matrisinin satirlarinin yer degistirilmesi ile A?dan elde edilen bir matris ise, o zaman
?dir.

(iii) Eger B matrisi; A?nin bir satirinin bir skaler katinin A?nin diger satirina ilave edilmesi ile A matrisinden elde edilen bir matrisi ise, o zaman
?dir.
(iv)
?dir.
Bu dört özelligin saglandigini kontrol etmek için son derece kolaydir.
Örnegin

ise, o takdirde

olur. Bu ise, bize (i) özelliginin dogrulugunu gösterir. Eger

ise, o takdirde

olup bu da (iii) ün dogrulugunu gösterir.
Yukaridaki dört özellik, bir 2x2 kare matrisin determinantini karakterize etmesi açisindan son derece önemlidir. Yani determinant fonksiyonu, her bir 2x2 matrise bir reel sayiyi karsilik getiren ve yukaridaki dört özellige sahip olan tek fonksiyondur.
Teorem 4.1. Determinant fonksiyonu; 2x2 matrislerin kümesinden R reel sayilar kümesi içine tanimlanan (i), (ii), (iii) ve (iv) özelliklerine sahip tek fonksiyondur.
Ispat: f nin her bir 2x2 A matrisini bir f(A) reel sayisina karsilik getiren bir fonksiyon oldugunu ve ayni zamanda (i), (ii), (iii) ve (iv) özelliklerine sahip bir fonksiyon oldugunu varsayalim. Yani kabul edelim ki;
(i) B matrisi, bir k reel sayisi ile A?nin bir satirini çarpmakla A?dan elde edilen bir matris oldugu zaman
f (B) = k.f (A)
(ii) B matrisi, A?nin satirlarinin yer degistirilmesi ile A?dan elde edilen bir matris oldugunda
f (B) = -f (A)
(iii) B matrisi, A?nin bir satirinin bir skaler katinin A?nin baska bir satirina ilave edilmesi ile A?dan elde edilen bir matris oldugunda
f (B) = f (A)
(iv)

olsun. Buna göre; biz her 2x2 matris için f (A) = detA oldugunu göstermeliyiz.

olsun. Eger ise, o takdirde



olur. Eger  ise, o zaman


olur. Böylece her iki durumda da iddia edildigi gibi esitligi gösterilmis olur.
Teorem 4.1?i asagidaki gibi nxn mertebeli kare matrislere genellestirmek mümkündür:
Teorem 4.2. Her nxn matrise bir reel sayiyi karsilikli getiren ve asagidaki özelliklere sahip olan bir ve yalnizca bir fonksiyon, det vardir.
(i) B matrisi; verilen bir nxn A matrisinin bir satirinin bir reel sayisi ile çarpilmasi sonucu A matrisinden elde edildigi her zaman

(ii) B matrisi; verilen nxn A matrisinin herhangi iki satirinin yer degistirilmesi ile A?dan elde edildigi her zaman

(iii) B, nxn A matrisinin bir satirinin bir skaler katinin diger bir satira ilave edilmesi ile A?dan elde edilen matris oldugunda

(iv) I, nxn birim matris olmak üzere
?dir.
Teorem 4.2?de varligi ve tekligi iddia edilen det fonksiyonuna, nxn determinant fonksiyonu denir. Her bir nxn A matrisi için detA reel sayisina A matrisinin determinanti denir.
Hemen belirtelim ki; Teorem 4.2 deki (i), (ii) ve (iii) özellikleri ileride gösterecegimiz gibi satir islemlerini kullanarak determinanti hesaplamak için kolaylik saglar.
Simdi verecegimiz teorem determinant fonksiyonunun iki faydali özelligini ifade eder.
Teorem 4.3. A bir nxn kare matris olsun. Buna göre
(i) Eger A matrisinin iki satiri esit ise, o zaman ?dir.
(ii) Eger A matrisi bir satirina sahipse, o zaman ?dir.
Ispat: (i) A matrisinin iki satirinin esit oldugunu farzedelim. B matrisi esit satirlarin yer degistirilmesi ile A dan elde edilen bir matris olsun. Bu halde Teorem 4.2?nin (ii) özelliginden dolayi yazariz. Halbuki yer degistirilen satirlari esit oldugundan dir. Sonuç olarak buradan oldugu görülür. Böylece

ifadesinden bulunur ve bu (i) kismini ispatlar.
(ii) Simdi ise, a matrisinin bir satirinin sifir oldugunu varsayalim. A?nin herhangi bir baska satirini seçelim ve onu bir B matrisi elde etmek için sifir satirina ilave edelim. Bu durumda Teorem 4.2 (iii) den yazariz. Halbuki B matrisi iki esit satira sahip oldugundan (i) den yazmak mümkündür. Bundan dolayi olur.

Örnek 4.1.

matrisinin determinanti sifirdir. Çünkü birinci ve dördüncü satirlari esittir.
Keza

matrisinin determinanti da sifirdir. Çünkü B matrisinin dördüncü satiri sifir satiridir. Özel olarak determinantlarinin hesaplanmasi çok kolay olan matrisler vardir. Bunlari teoremler halinde veriyoruz.
Teorem 4.4. Bir kösegen matrisin determinanti matrisin kösegen elemanlarinin çarpimina esittir.
Ispat:

olsun. Teorem 4.2. (i) özelligini tekrar tekrar kullanarak

 

elde ederiz.
Teorem 4.5. Bir üst üçgen (yada alt üçgen) matrisin determinanti, matrisin kösegen elemanlarinin çarpimina esittir.
Ispat: Ispatimizi, üst üçgen matris için yapiyoruz. Benzer düsünce ile alt üçgen matrisler için ispat yapilabilir.

olsun. Teorem 4.2 nin (i) ve (iii) ifadelerini tekrar tekrar kullanarak;




yazariz.
Buradan verilen bir nxn matrisin determinantini hesaplamak için bir yöntem elde etmek mümkündür. Söyle ki;
(i) Verilen nxn kare matrisi, satir islemleri kullanilarak bir üst (yada alt) üçgen matris haline getirmek
(ii) Üst (yada alt) üçgen matrisin determinanti (Teorem 4.5 den) ?kösegen üzerindeki elemanlarin çarpimina esittir? ifadesinin göz önüne almak yeterlidir.
Örnek 4.2.

matrisinin determinantini hesaplayalim.



4.2. Minörler ile Determinantlarin Hesaplanmasi
bir önceki kesimde satir islemlerini kullanarak bir nxn kare matrisin determinantinin nasil hesaplandigini gösterdik. Bu kesimde determinantlari hesaplamak için baska bir yöntem verecegiz. Herhangi bir nxn kare matrisin determinantini, (n-1)x(n-1) matrislerin determinantlari cinsinden ifade eden bir formül verecegiz.
bir nxn kare matris olsun. A matrisinin i-yinci satir ve j-inci sütununun silinmesiyle elde edilen matrise A matrisinin alt matrisi denir ve Aij ile gösterilir.
Örnek 4.3.

matrisini göz önüne alirsak, bu matrisin bazi alt matrisleri

seklindedir.
A matrisinin alt matrislerinin determinantlarina A nin minörleri denir ve detAij seklinde gösterilir.

isaretli minörüne, aij elemaninin kofaktörü denir ve  ile gösterilir.
Örnek 4.4. Yine asagidaki gibi 3x3 tipinde genel bir

matrisini göz önüne alalim. Buna göre



olup,



seklindedir. Buna göre 3x3 tipindeki bir A matrisinin determinanti


olarak hesaplanabilir.
Bu verdigimiz örnegin, nxn kare matrisler için asagidaki gibi formülüze edebiliriz:
A=(aij) nxn tipinde bir kare matris olmak üzere A matrisinin determinant degeri, A matrisinin bir satirindaki (veya sütunundaki) her elemaninin kendi kofaktörü ie çarpimlarini toplayarak bulunur. Yani

yada

örnek 4.5. Asagida verilen

matrisinin bütün elemanlarina karsilik gelen kofaktörlerini bulunuz ve bu kofaktörlerden faydalanarak determinant degerini hesaplayiniz.
Çözüm:
         
        
                      
                       

 

olup, böylece

yada

bulunur. Burada hemen hatirlatalim ki; hangi satir yada hangi sütuna göre açilirsa açilsin matrisin determinant degeri degismez.
Teorem 4.6. Bir A kare matrisinin determinanti ile A nin transpozunun determinant degeri aynidir. Yani

dir.
Teorem 4.6?nin ispati determinantlarin kofaktör açilimlarinin göz önüne alinmasi ile hemen görülür.
4.3. Permütasyonlar ve Determinantlar
Burada determinant için baska bir formül verecegiz. Bu vereceginiz formül herhangi bir kare matrisin determinantini dogrudan matrisin elemanlari cinsinden ifade eder.
 nxn bir kare matris olmak üzere, A matrisinin determinanti,


seklinde verilir. Burada Sn, simetrik (permütasyon) grup ve ;

seklinde tanimlanan isaret fonksiyonudur.

Örnek 4.6. n=2 için

matrisinin determinantini hesaplayalim. S2 simetrik grubunun 2!=2 tane elemani olup daha önce 1.4 de permütasyonlar konusunda bahsettigimiz gibi (1,2) permütasyonu çitf ve (2,1) permütasyonu tektir. Bundan dolayi
sgn (1,2)=+1 ve sgn (2,1)= -1 olup,



dir.
Örnek 4.7. n=3 için

matrisinin determinantini hesaplayalim. S3 simetrik grubunun 3!=6 tane elemani olup, bunlardan (1,2,3), (2,3,1) ve (3,1,2) permütasyonlari çift, (3,2,1), (2,1,3) ve (1,3,2) permütasyonlari tek oldugundan

 

 

dir. Böylece






degerini elde ederiz.
4.4. Bir Çarpimin Determinanti
Biz bu kesimde A ve B ayni mertebeden iki kare matris olmak üzere

oldugunu görecegiz. Bunu gösterirken elemanter matrislerden faydalanacagiz. Bu yüzden ilk olarak elemanter matrislerin determinantlari ile ilgili teoremleri ifade edelim.
Teorem 4.7. Eger E, bir elemanter matris ise, o zaman
(i)
(ii)
(iii)  elemanter matristir.
Ispat:  olmak üzere  ile   elemanter satir islemine karsilik gelen elemanter matrisi,  ile  elemanter satir islemlerine karsilik gelen elemanter matrisi ve  ile  satir islemine karsilik gelen elemanter matrisi gösterelim. Buna göre bu üç farkli tipten elemanter matrislerin determinantlarini alacak olursa, o takdirde



elde ederiz ki; bu da (i) ve (ii) yi ispatlar. (iii) ü ispatlamak için sirasiyla



oldugunu göz önüne almak yeterlidir.
Teorem 4.8. Eger E nxn bir elemanter matris ise, o zaman her nxn A matrisi için

dir.
Ispat: Burada da ispatimizi her üç elemanter matris  ve için ayri ayri yapacagiz. Buna göre ile bir A matrisinin soldan çarpimi,  ile A nin i-yinci satirinin çarpilmasina denktir. Böylece Teorem 4.7 den ve determinant özelliginden


yazariz. Simdi de ikinci elemanter matris için yani  için teoremin iddiasinin dogru oldugunu gösterelim. Hemen belirtelim ki Pij ile bir A matrisinin soldan çarpimi, A matrisinin i-yinci satiri ile j-yinci satirinin yer degistirilmesine denktir. Böylece Teorem 4.7 den ve determinant özelliginden

 

ifadesini elde ederiz. Nihayet üçüncü elemanter matris  için iddianin dogrulugunu gösterelim. elemanter matrisi ile bir A matrisinin soldan çarpimi, A?nin i-yinci satirina, j-yinci satirinin  katinin eklenmesine denktir. Yine Teorem 4.7 den ve determinant özelliginden

yazariz. Böylece teorem tamamen ispatlanmis olur.
Teorem: 4.9. Bir A kare matrisinin ters çevrilebilir olmasi için gerek ve yeter sart  olmasidir.
Ispat: Eger A ters çevrilebilir bir matris ise, o zaman teorem 3.5 den

olacak sekilde elemanter matrisleri vardir. Böylece Teorem 4.8?den

yazariz. Bundan dolayi  sonucunu elde ederiz.
Tersine; eger A ters çevrilebilir bir matris degilse, o zaman Teorem 3.3?den

olacak sekilde  elemanter matrisleri vardir. Burada R, bir sifir satirini kapsayan nxn bir esolon matristir. Böylece detR=0 olur ve Teorem 4.7.(i)?den  oldugundan detA=0 oldugu görülür.
Simdi yukarida ifade edip ispatladigimiz teoremlerin isigi altinda daha önce bahsettigimiz bir çarpimin determinantini ifade eden teoremi verelim.
Teorem 4.10. A ve B, nxn iki matris olsun. O takdirde

dir.
Ispat: Hemen belirtelim ki; eger A bir elemanter matris ise, o zaman Teorem 4.8 den iddianin dogru oldugunu söyleriz. A matrisi elemanter matrislerin bir çarpimi oldugunda (4.1) esitligi yine dogrudur. Gerçekten E1 ve E2 elemanter matrisler olmak üzere
A=E1E2
ise, o zaman Teorem 4.8 in iki kez ard arda uygulanmasi ile




yazariz. k>2 olmak üzere
A=E1E2?Ek
Oldugu zaman da ispat benzer olarak yapilabilir. Diger taraftan her ters çevrilebilir matris elemanter matrislerin bir çarpimi olarak yazilabildiginden A matrisinin ters çevrilebilir oldugu her zaman
det(A)=det(A)det(B)
esitligi geçerlidir. Eger A matrisi ters çevrilebilir degilse, o takdirde detA=0 ve det (AB)=0 dir. Böylece bu durumda da (4.1) ifadesi geçerlidir.

ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER
1. Asagidaki her matrisin determinantinin degerinin bulunuz:

          

2. in determinantini bulunuz.

3. saglanacak sekilde k degerini bulunuz.
 veya olur. Bu nedenle  ve  Yani, eger  veya  ise determinant sifirdir.
EK PROBLEMLER
1. Asagidaki her matrisin determinantini hesaplayiniz:

2. Asagidaki her matrisin determinantinin degerini bulunuz:


3. Problem 7.54 deki her matris için determinant sifir olacak sekilde t nin degerlerini belirleyiniz.
4. Asagidaki her matrisin determinantinin degerini hesaplayiniz:

5. Asagidaki her bir determinanti hesaplayiniz: