BÖLME ve BÖLÜNEBILME

 

A. BÖLME

A, B, C, K birer dogal sayi ve B ¹ 0 olmak üzere,

    

bölme isleminde,

    *

      A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
*

      A = B × C + K dir.
*

      Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
*

      Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri degistirilebilir. Bu durumda A ve K degismez.
*

      K = 0 ise, A sayisi B ile tam bölünebilir.

 

B. BÖLÜNEBILME KURALLARI

1. 2 Ile Bölünebilme

Birler basamagindaki rakami çift olan sayilar 2 ile tam bölünür.

Tek sayilarin 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

 

2. 3 Ile Bölünebilme

Rakamlarinin sayisal degerleri toplami 3 ün kati olan sayilar 3 ile tam bölünür.

Bir sayinin 3 ile bölümünden kalan, rakamlarinin toplaminin 3 ile bölümünden kalana esittir.

 

3. 4 Ile Bölünebilme

Bir sayinin onlar basamagindaki rakam ile birler basamagindaki rakamin (son iki basamak) belirttigi sayi, 4 ün kati olan sayilar 4 ile tam bölünür.

... abc sayisinin 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana esittir.

    *

      ... abc sayisinin 4 ile bölümünden kalan

    c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana esittir.

 

4. 5 Ile Bölünebilme

Birler basamagindaki rakam 0 veya 5 olan sayilar 5 ile tam bölünür.

Bir sayinin 5 ile bölümünden kalan, o sayinin birler basamagindaki rakamin 5 ile bölümünden kalana esittir.

 

5. 7 Ile Bölünebilme

(n + 1) basamakli anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayisinin 7 ile tam bölünebilmesi için,

olmak üzere,

(a0 + 3a1 + 2a2) ? (a3 + 3a4 + 2a5) +...? ... = 7k

olmalidir.

Ü

Birler basamagi a0, onlar basamagi a1, yüzler basamagi a2, ... olan sayinin (...a5 a4 a3 a2 a1 a0 sayisinin) 7 ile bölümünden kalan

(a0 + 3a1 + 2a2) ? (a3 + 3a4 + 2a5) +...? ... ...

isleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana esittir.

Sekiz basamakli ABCDEFGH sayisinin 7 ile bölümünden kalan,

(H + 3 × G + 2 × F) ? (E + 3 × D + 2 × C) + (B + 3 × A) isleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalandir.

 

6. 8 Ile Bölünebilme

Yüzler basamagindaki, onlar basamagindaki ve birler basamagindaki rakamlarin (son üç rakamin) belirttigi sayi 8 in kati olan sayilar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayilari 8 ile tam bölünür.

Ü

Birler basamagi c, onlar basamagi b, yüzler basamagi a, ... olan sayinin (... abc sayisinin) 8 ile bölümünden kalan c + 2 × b + 4 × a toplaminin 8 ile bölümünden kalana esittir.

 

7. 9 Ile Bölünebilme

Rakamlarinin toplami 9 un kati olan sayilar 9 ile tam bölünür.

Bir sayinin 9 ile bölümünden kalan, o sayinin rakamlarinin toplaminin 9 ile bölümünden kalana esittir.

 

8. 10 Ile Bölünebilme

Birler basamagindaki rakami 0 (sifir) olan sayilar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayinin birler basamagindaki rakam o sayinin 10 ile bölümünden kalandir.

 

9. 11 Ile Bölünebilme

(n + 1) basamakli anan?1 ... a4a3a2a1a0 sayisinin 11 ile tam bölünebilmesi için

(a0 + a2 + a4 + ...) ? (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k

ve olmalidir.

Ü

(n + 1) basamakli anan?1 ... a4a3a2a1a0 sayisinin 11 ile bölümünden kalan

(a0 + a2 + a4 + ...) ? (a1 + a3 + a5 + ...)... isleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana esittir.

Aralarinda asal iki sayiya bölünebilen bir sayi, bu iki sayinin çarpimina da tam bölünür.

    *

      2 ve 3 ile tam bölünen sayilar 2 × 3 = 6 ile de tam bölünür.
*

      3 ve 4 ile tam bölünen sayilar 3 × 4 = 12 ile de tam bölünür.

 

    *

      4 ve 6 ile tam bölünen sayilar 4 × 6 = 24 ile tam bölünemeyebilir. Çünkü 4 ile 6 aralarinda asal degildir.

 

 

C. BÖLEN KALAN ILISKISI

A, B, C, D, E, K1, K2 uygun kosullarda birer dogal sayi olmak üzere,

A nin C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.

Buna göre,

    *

      A × B nin C ile bölümünden kalan K1 × K2 dir.
*

      A + B nin C ile bölümünden kalan K1 + K2 dir.
*

      A ? B nin C ile bölümünden kalan K1 ? K2 dir.
*

      D × A nin C ile bölümünden kalan D × K1 dir.
*

      AE nin C ile bölümünden kalan (K1)E dir.

Yukaridaki islemlerde kalan degerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

 

D. ÇARPANLAR ILE BÖLÜM

Bir A dogal sayisi B × C ile tam bölünüyorsa A sayisi B ve C dogal sayilariyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karsiti (A sayisi B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayisi B × C ile tam bölünür.) dogru olmayabilir.

    *

      144 sayisi 2 × 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayisi 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
*

      6 sayisi 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayisi 2 × 6 = 12 ile tam bölünemez.

 

E. BIR TAM SAYININ TAM BÖLENLERI

Bir tam sayinin, asal çarpanlarinin kuvvetlerinin çarpimi biçiminde yazilmasina bu sayinin asal çarpanlarinin kuvvetleri biçiminde yazilmasi denir.

a, b, c birbirinden farkli asal sayilar ve m, n, k pozitif tam sayilar olmak üzere,

A = am . bn . ck  olsun.

Bu durumda asagidakileri söyleyebiliriz:

    *

      A yi tam bölen asal sayilar a, b, c dir.
*

      A sayisinin pozitif tam bölenlerinin sayisi,

          (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.

    *

      A sayisinin pozitif tam bölenlerinin ters isaretlileri de negatif tam bölenidir.
*

      A sayisinin tam sayi bölenleri sayisi,

            2 × (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
*

      A sayisinin tam sayi bölenleri toplami 0 (sifir) dir.
*

      A sayisinin pozitif tam bölenlerinin toplami,

          

    *

      A sayisinin asal olmayan tam sayi bölenlerinin sayisi, A nin tam sayi bölenlerinin sayisindan A nin asal bölenlerinin sayisi çikarilarak bulunur.
*

      A nin asal olmayan tam sayi bölenleri toplami,

            ? (a + b + c) dir.
*

      A sayisindan küçük A ile aralarinda asal olan dogal sayilarin sayisi,

          

    *

      A sayisinin pozitif tam sayi bölenlerinin çarpimi: