I. BELIRSIZ INTEGRAL
I.1.Belirsiz Integralin Tanimi: Türevi f(x) olan bir F(x) fonksiyonuna f(x)?in ilkel fonksiyonu ve diferansiyeli f(x)dx olan F(x) fonksiyonunda f(x)dx ?in belirsiz integrali denir.
         dF(x) = f(x)dx      veya                       =f(x)
Ise
         F(x)  = ? f(x)dx
Dir. Genel olarak:
          ? f(x)dx  = F(x) + c
dir. Buradaki C keyfi sabittir.
I.2 BASLICA INTEGRAL TEOREMLERI VE INTEGRAL TABLOSU
u ve v(x)?in fonksiyonlari: a,b,c sabitler olmak üzere asagidaki esitlikler yazilabilir.
1   ?    df(x)  =  f(x) + c
2    ?  d f(x) =  f(x)dx
3    ?  odx = c
4    ?  a f(x)dx = a ?f(x)dx
5    ?  (u + v +w + ?)dx = ? udx + ?vdx + ?wdx + ?
6     ? udv = uv ?? vdu
7     ?  = dx = uv- ?v  dx
8     ? f(y)dx = ?
9? du =  
10.   ?            =  logu + c
11    ?  du =  
12    ?           audu = 
13    ?           sinudu = - cosu + c
14    ?           cosudu = sinu + c
15    ?           tgudu = logsecu + c = -logcosu + c
16    ?           cotgudu = logsinu + c
17     ?          secudu = log (secu + tgu) + c = log + g ( + c
18     ?          cosecudu = log (cosecu ? cotgu) + c = log + g  + c
19     ?          udu = u + sin u cos u + c =  u - sin 2u + c
20     ?udu = u +  sin u cosu + c =  u + sin 2u + c
21     ?          udu + tgu + c
22    ?           udu = - cotgu + c
23    ? udu  = tgu ? u+c
24   ? udu = -cotgu - u + c
25   ? = arctg   + c
26   ? = log ()  + c
27   ? = arcsin + c
28    ? =   log (u + ) + c
29    ? = log (u +) + c
30   ?       du = .arcsin + c
31   ? .du =?
32   ?  
33   ?  shudu = chu + c
34   ?  chudu = shu + c
35   ?  thudu = log (chu) +c 

I.3. INTEGRAL ALMA YÖNTEMLERI
Degisken Dönüstürme Yöntemleri
Degisken dönüstürümü yardimiyla integral hesabi yöntemi diferensiyelin ifadesinin seçilen degiskene bagli olmamasi özelligine dayanir.
Bu yöntem,
f(x)dx
integralini x degiskenine
x = g(t)
Denklemi ile bagli olan yeni bir t degiskenin fonksiyonu olarak ifade etmekten ibarettir.
g(t) nin sürekli bir  (t) türevinin oldugu varsayilarak,
f(x)dx = f [g(t)] (t)dt
Oldugundan,
? f(x)dx = ? f[g(t)] (t)dx yazilir.
Hesaplanmasi istenilen bir belirsiz integral , uygun bir degisken dönüstürümü ile bilinen bir
sekle  sokulursa, integral yeni t degiskeni cinsinden elde edilir. Sonucu x cinsinden ifade etmek
için, x = g(t) bagintisindan t çözülerek sonuçta yerine koymak yeterlidir.
  ve  ti ihtiva eden Integraller :
 halinde   x  =  t sin l veya  x= t.cos l
 halinde    x  =  t.sec l
 halinde   x =    t tg  l

degisken dönüstürmeleri yapilir.
I.3.2 Kismi Integrayon Yöntemi:
U ve v ile, x?in bir [a,b] araliginda sürekli türevleri olan iki fonksiyonunu gösterelim.
uv çarpiminin diferensiyeli
d(uv)  =  udv + vdu ? dir. Buradan
udv=d(uv)-vdu
yazilir. Bu baglantinin iki tarafinin belirsiz integralleri birbirine esittir:
?udv =  ?d(uv) ? vdu            veya
?udv = uv ? ?vdu ? dur.
Kismi integrasyon metodu bu formül  ile verilmistir ve yöntemin esasi hesaplanmasi istenilen
? udv             yerine hesaplanmasi daha kolay olabilen
? vdu belirsiz integralini kaymayi mümkün kilar.
II. BELIRLI INTEGRAL
II.1 Belirli Integralin Tanimi: f(x) , x = a dan x = b?ye kadar olan aralikta sürekli bir fonksiyon olsun. Bu araligi , apsisleri a,,?.,xn - 1, b olan n parçaya bölelim. Araliklarin boylari,
, ?. , ?xn olsun. Bu araliklarin her birinde x?in x?1, x?2 , x3??., x?n gibi herhangi
degerleri alalim f(x)?in x = a , x=b imitleri arasindaki belirli integrali diye:
 f(x) dx = lim  f(x ;) ?x, + l(?) x2+? + f(1)
n? 8

 

            = lim    ?  f(xi1)  xi
n? 8
=| ? f(x) dx| b   = F(x) b  = F(b) ? F(a)
Ya denir. Buradaki F(x) fonksiyonu türevi f(x) olan bir fonksiyondur.
II.2.Belirli Integrale Ait Baslica Teoremler
 B f1(x) + f2(x) +?.+ fn (x)  dx=    f1 (x) dx +    b f2(x) dx +?+  b fn (x) dx
 k.f (x) dx =  k.   B f(x) dx
 f (x) dx = -  a f(x) dx
 f(x) dx =  c  f(x) dx   + b f(x) dx
 f(x) dx =  (b-a)f(x1)  
 f(x)dx = Lism f(x) dx
III. INTEGRALLERIN HESAPLAMA YÖNTEMLERI
III.1.TRIGONOMETRIK FONKSIYONLARIN INTEGRALI
III.1,1.Dairesel Fonksiyonlar (Trigonometrik Foksiyonlar) cinsinden
Rasyonel Olarak Ifade Edilen Fonksiyonlarin integrali
(Yarim Açi Metodu)
P(x,y), Q(x,y), x ve y?bir polinom olmak üzere

I.1 R (x,y), x veya y?li rasyonel fonksiyon ise R(sinx, cosx,),sinx ve cosx li rasyonel bir fonksiyondur.                                                                                       
Trigonometriden  sinx=            ,  cosx=    oldugu biliniyor.
R rasyonel bir fonksiyon olmak üzere
?R (sinx,cosx) dx  integrali  u = tan  degisken dönüstürme ile R , u?nun  rasyonel fonksiyonu
Olmak üzere ?R,(u )du sekline dönüsür.
Gerçekten                               x     = 2Arctonu
dx   =

sinx   =
Tan                                                                                     
COSX  =     
esitlikleri kullanilarak  ?R(sinx , cosx) dx  integrali rasyonel kesirlerin integraline dönüsmüs olur. 
I.2.  ?sinax.coobxdx,    ?sinax.sinbxdx , ?cosax coobx seklinde integraller
Bu integrali almak için
Sinax . Sinbx   =   [cos(a-b)x- cos (a+b)x]
sinax . cosbx =  [ sin(a-b)x ? sin (a+b)x]
Sinax .  cosbx =  [cos (a-b)x- cos(a+b)x]
I .3.Sinx ve coox Cinsinden Bir Polinomun Integrali
Bu integraller, a ve b pozitif tam sayi olmak üzere ? seklindeki terimleri ihtiva ederler. Bu tür integrallerin alinmasinda üç durumdan söz edilebilir. Bunlar a ve b?nin  ikisininde tek olma, birinin tek birinin çift olma ve ikisininde çift olma durumudur, Bunlari tek tek inceliyelim.

• a ve b?nin Tek olma Durumu

? seklindeki integralde a ve b tek ise bu integral rasyonel bir fonksiyon olmak üzere
?R(sinx)cosxdx veya ?R(cosx)sinxdx sekline dönüsür. Bu durumda sirayla sinx = t ve cos
x = t  degisken degistirmesi yapilir. Bunu biraz daha açiklayalim a ve b ikiside tek ise p,q ? N
olmak üzere a = 2p +1, b = 2q + 1 olur.
? = ? = ? sinxdx
= ? ()p cos 2q+1 xdx = ?r(cosx)sinxdx
veya
? = ?  = ?,
=? xcosxdx = ?R(sinx)cosxdx
Uyari!  sinax. coobx dx integralinde a ve b? nin ikiside tek oldugu zaman küçük olani parçalamak, daha kisa yoldan integralin alinmasini saglar.
b) a ve b? den birinin tek birinin çift olma durumu
Bu durumda ave b?den hangisi tek ise onun için a b? nin tek olma durumunda kullanilan yol takip edilir.
C ) a ve b?nin çift olma durumu
Bu durumda p?q? ? N olmak üzere a=2a , b=2q olur.
Sinaxcosbxdx = sin2p cos2qxdx = (sin2x)p . cos2x)q dx olur.
Bu integrali almak için;
 =  ,  = esitliklerinden faydalanabilir.
I.4.D ?f(sinx,  coox)dx Seklindeki Integraller Için Özel Metodlar
?R (sinx, coox )dx seklindeki integrallerin alinmasinda integrand rasyonel ise yarim açi metodu daima kullanilabilir. Fakat bazi durumlarda bu dönüsüm çok karmasik rasyonel fonksiyonlarin integrallerini götürür. Onun için bu integralleri sonuca hemen götürecek özel metotlardan faydalanilacaktir. Bunlardan bazilarini açiklayalim.

• ?g (sinx,)coox dx veya  ?g (coox) sinxdx seklindeki Integraller

l(sinx, coox) ifadesi, sinx, in üssü pozitif ve tek ise  bu ifade g(coox)sinx sekline, coox?in üssü pozitif ve tek ise g(sinx) coox sekline getirebilir.Bu durumda sirayla sinx=t, coox=t degisken degistirmesi yapilarak integral alinir.
    b)?R(tanx)dx veya ?R(cotonx)dx Seklindeki Integraller
f(sinx,coox) ifadesi  R(tanx) ve  R(cotonx) sekline getirilebiliyorsa sirasiyla tanx=t veya  coton
x=t degisken degistirmesi uygun olur.
c) ?R(sinx,coox)dx integral inde sinx ve coox?in üssünün çift olma hali
sinx ve coox?in üssü çift oldugu zaman tonx =t degisken degistirmesi yapmak uygun olur.
d) tanpx.secqx dx  seklindeki integraller
p nin pozitif  tek sayi olma durumu
p=2n+1  (n?N) olsun. Bu takdirde
?   = ?    = ? elde edilir.                      esitligi dikkatle alinirsa
?()tanx = ?().  x.tanx.secxdx = ?l(secx)tanxsexdx elde edilir
secx = u degisken degistirmesi yapilirsa tansecx= du olur. Bu degerler yukarida yerine yazilirsa verilen integral
? = ? d(). du sekline dönüsür.
q?nun Pozitif Çift Olma Hali
q=2a (a ? N+) olsun . Bu durumda
?  ()dx = ? tanpx xdx=?tanpxd 
? tanpx()= ?tanpx(1+tan2x). = f(tanx) elde edilir. tanx=u
degisken degistirmesi yapilirsa sec2xdx = du olur.
Bu degerler yukarida kullanilirsa
?Tanpxsecqxdx= ?f(u)du sekline dönüsülür.
e)  ?   integralinde a+b?nin Negatif ve çift sayi olma hali
Çift sayi olma hali
A+b=-2p (p ? N+) olsun. Bu durumda verilen integral
?,  = ?.
?tannx   dx = ?tann x ()pdx=? tannx(1+tan2x)pdx sekline girer . tanx = t degisken degistirmesi yapilirsa

         = .  = ? sekline dönüsür.

f) ?dx  Seklindeki Integraller
Bu tür integrallerde trigonometrik özdesliklerden istifade edilecek kök disina çikarilmalidir.Bu yapilamiyorsa uygun degisken degistirme aranmalidir.  
III.1.2 ?sinax.sinbxdx, ?sinax.cosbxdx, ?cosox.cosbxdx
1)?cos4xcos3xdx      integralini hesaplayiniz.
?cos4xcos3xdx = ? (cos7x+cosx)dx
=
=  
2)?. integralini hesaplayiniz.
? ?
=  
=       
=
3) ?sinx, sin3xdx integrallerini hesaplayiniz.
=?sinx,sin3xdx = ?[cos2x-cos4x]dx
= 
4) ?cos(x+b.cos(ax-b)dx integralini hesaplayiniz.
=?cos(ax+b).cos(ax-b)dx =  ?(cos2ax + cos2b)

=  

=   
5)?sin(1-x).cos(1-x)dxintegralini hesaplayiniz.
=?sin(1-x).cos(1-x) dx = ?(sin(2-2x) +sinO) dx
=  
=   
6) ?sinx.sin2x.sin3xdx   integralini hesaplayiniz.
= ?sinx.sin2x.sin3xdx = ?
= ?(sin2x.cos2x ? sin2x.cos4x)dx
= ?[ 

=  ?(sin4x ? sin6x +sin2x)dx
=  
=
7)   integralini hesaplayiniz.
= ?(
2 p
=(
8) ?sin ( sinx) sin2xdx integralini hesaplayalim.
u=sinx          du = 2sinxcosxdx
du = sin2xdx
? sin ( sinx) sin2xdx =  ?sinu.du
= -cosu + c
= -cos(sinx)+c
9) sin3xcos5xdx integralini hesaplayiniz.
=  sin3xcos5xdx = ?(sin (-2x) + sin8x) dx
=   
= 1 (cos4x ? cos8x) = 1 [(1-1)-(1-1)] = 0
10)  sin2xcosbxdx  integralini hesaplayiniz.
=  sin2xcosbxdx = [ sin8x + sin(-4x)]
=
= 
=  (                                                 = 
= 0
III.1.3. ? sinx.cosbxdx
1)  ? integralini hesaplayiniz.
?cosx.sinxdx=)?cosx.sinx.sinxdx= ?cosx(1-cosx). sinxdx
cosx = u
-sinxdx = du olur.
=?(cosx.sinxdx) = -?u(1-u)du = -?u(1-4u-6u-4u-u)du
=?(ud-4u+6u ? 4u  + u)du = 
= 
2)  ? integralini hesaplayiniz.

? = ?
Sinx = u        ?      cosxdx = du

? = ?
= ?
=   
=     
= 
3) ? integralini hesaplayiniz.
Tanx = u       sinx = ,      cosx =   ,  dx=
 
?                 = ?   .   
=?((
=
4)  integralini hesaplayiniz.
=? = ?
Sinx = u        ?        cosxdx = du
= ?
=   
5)   integralini hesaplayiniz..
cosx=u
? = -?cos3x(1-cos2x)2du
=-?u3(1-u2)2du=-?
=(
=(
III.2.     BINOM INTEGRALI
III.2.1. BINOM INTEGRAL HESABI
? integrali      
a  ß  ?  Rasyonel sabitler,  a ve b reel sabitler olduguna göre, verilen integral içindeki ifadeye binom diferansiyeli denir. Asagidaki üç halden birinde bulunuyor isek bu integrali esaplamak mümkün olabilmektedir.

• ?  tam bir sayi ise integral ?Rx ,x )dx seklinde olur. a  ve ß  ?nin paydalarinin en küçük ortak kati N ise

X =  
Dönüstürmesi yapilir..
II. tam sayi ise
Ax ß+b = t
Dönüstürmesi yapilarak

  =, x= ()1/ß ;  = (  
dx  =  
Olup
? = ? (
Integraline varilir. Bu ise ayni tipte bir integraldir. Ancak a+1/ß bir tamsayi oldugu için a+1/ß -1 de tamsayi olarak bu integral I. Halde yani ??nin tamsayi olmasi hali,ndeki integral seklinde olacaktir. O halde t ? ?nin üssü olan  ??nin paydasi x ise N= x olarak
T=
Dönüstürmesi yapilmalidir. Böylece u?nun rasyonel bir fonksiyonunun integraline varilir.d Bu iki dönüstürme birlestirilirse bu halde
Ax+b = uv
Dönüstürmesini yapmak gerekir.

•  tamsayi ise

?x  (ax  + b)? dx = ?x [ +bx- ] ? dx
?x  ( a+bx ? )dx
Yazilarak II. hal uygulanir.
Gerçekten yukaridaki      yerine burada

-ß                                 ß
Gelmis olurki bu da hipoterimize göre tam bir sayidir. O halde

 yani

Dönüstürmesi yapilir.
III. 2.2. BINOM
1) dx integralini hesaplayiniz.

M=-1,           n=2,     p=       
1+x =t                 x=1  ? t= dx       =  tdt
           x=2  ? t=5                
 .  = v
=                              =(-[(   ln ¦)-(    ln ¦¦ )]

 

=( ¦ )-(  1  ln ¦  ¦ )]
2)  = integralini hesaplayiniz.
a + 1   =   = 2    olup tam  ? =   olup 1+

x= için =                       x = 2 için   v1+22 = v5
1+ =          x = (-1)-  2udu
dx =  ()- 2udu

dx = 1 2udu

 =  = ) |
=[         
3) ?  integralini hesaplayiniz.
                                                       ,  = = 2 ? Z oldugundan
 =   ?  x =  degisken degistirmesi yapilir. x ve dx degerleri integralde yerine yazilirsa

     ?      = ?  
=  ?
= ? = ?
=
=
4) I = ?integralini hesaplayiniz.
                      ?        2xdx =






 integralini hesaplayiniz

(tam degil)

dönüstürme yapilirsa
 integrali basit kesirler oplami seklinde yazilarak alinirsa



=


Degeri yerine yazilirsa

 integralini hesaplayiniz.


K=